Relações métricas no triângulo - alturas, ortocentro

De um triângulo qualquer ABC, as alturas encontram-se no ortocentro H, ficando cada uma delas dividida em dois segmentos, por exemplo, AH e HH_a. Verifica-se que

AH.HH_a=BH.HH_b =CH.HH_c

Relações métricas num triângulo equilátero

As alturas de um triângulo equilátero têm comprimentos iguais. Tomado um ponto P variável dentro de um triângulo equilátero ABC, as distâncias de P aos lados AB, BC e CA têm soma constante igual à altura de ABC.





O que aconteceria se o triângulo fosse simplesmente isósceles?

Relações métricas no triângulo isósceles

Num triângulo isósceles ABC em que AC=BC, as distâncias de um ponto P de AB aos lados AC e BC têm soma constante.






Porquê? Constante igual a quê?

Relações métricas nos triângulos

No triângulo ABC, sejam:

• a, b, c os comprimentos dos lados
• a', b', c' as distâncias do ortocentro H respetivamente a A, B, C
• R o raio do circuncírculo
.

Verifica-se que:

a²+a'² = b²+b'² = c²+c'² = 4 R²

Relações métricas no triângulo

Num triângulo ABC, tomemos um ponto P sobre o lado BC. Os raios das circunferências definidas por ABP e ACP são proporcionais respetivamente aos lados AB e AC.