Ponto de Steiner e Recta de Lemoine

No triângulo ABC tomemos o ponto Le de Lemoine e determinemos a sua polar trilinear rLe (a verde cheio). Traçando as três isogonais da recta de Lemoine (uma por vértice do triângulo) verifica-se que elas se intersectam no ponto de Steiner que é o mesmo que dizer que o ponto isogonal do ponto do infinito da recta de Lemoine é o ponto de Steiner.
Traçando uma paralela (a verde tracejado) à recta de Lemoine por qualquer um dos vértices – seja, por exemplo, o vértice A - a sua isogonal - simétrica dessa paralela em relação à bissectriz (amarelo tracejado) - é uma recta (a verde tracejado) que passa pelo ponto St de Steiner.



[A.A.F.]

Da polar trilinear para o pólo

A pedido de um leitor anónimo, apresentamos a resposta à pergunta:
Dada uma recta e um triângulo de que ela é polar trilinear, como se determina o pólo correspondente?



[A.A.M.] reconstrutor de serviço

---

Consideramos que a resposta está na entrada Polar trilinear de 9 de Dezembro de 2008. Mas aqui fica tratado o problema posto.

---

Na construção dinâmica, que pode seguir por etapas, ao deslizar o cursor ao fundo da janela, parte-se da polar p e para determinar o pólo P respectivo, seguem-se os passos:

1. Determinam-se os pontos de intersecção da recta p com os lados do triângulo ABC - P'_a, P'_b e P'_c.


2. O vértice P_c do triângulo ceviano de ABC que procuramos separa harmonicamente os pontos A, B e P'_c e que é colinear com os pontos C e Q, este último a separar harmonicamente os pontos P'_a, P'_b e P'_c. A determinação de P_c ou de Q faz-se pela construção de um quadrilátero completo de que CQ é diagonal


3. Determinado P_c, imediatamente se determinam P_a e P_b tirando as rectas P'_a P_c e P'_bP_c que intersectam os lados de ABC em P_a e P_b. A recta P'_cP_a passa por P_b e, por isso P_aP_bP_c determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar p nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.


4. As cevianas AP_a, BP_{b e CPc intersectam-se no pólo P, correspondente à polar trilinear p}

Recta de Steiner

Tomemos um ponto P qualquer sobre o circuncírculo; os simétricos Pa, Pb, Pc de P em relação a cada lado são colineares; se P for o ponto de Steiner, a recta obtida é a recta de Steiner.


Na construção dinâmica, que se segue, pode verificar os resultados para qualquer P do circuncírculo e pode deslocá-lo até ser coincidente com o Ponto de Steiner e a recta dos simétricos de P ser a recta de Steiner. Também pode deslocar os vértices do triângulo.


[AAF]

O ponto de Steiner e o ponto G

No triângulo ABC, sejam
- A’ o simétrico de A em relação a G
- B’ o simétrico de B em relação a G
- C’ o simétrico de C em relação a G;
as três circunferências definidas pelos conjuntos de ternos de pontos AB’C’, BA’C’, CA’B’ intersectam-se num ponto do circuncírculo - ponto de STEINER. A cada uma das três circunferências dá-se o nome de “círculo de Steiner”



Nesta construção dinâmica, criada com GeoGebra, pode deslocar os vértices do triângulo para verificar.

Ponto de Steiner e triângulo de Brocard

No triângulo ABC sejam O o centro do circuncírculo e Le o ponto simediano (ou de Lemoine). O círculo de diâmetro OLe é o círculo de Brocard, como vimos. Por O tracemos perpendiculares aos lados a, b, c; as suas intersecções com o círculo de Brocard são os vértices A’, B’, C’ do “primeiro triângulo de Brocard”. Por A tracemos uma paralela ao lado B’C’, por B uma paralela ao lado A’C’, por C uma paralela ao lado A’B’: as três rectas intersectam-se no ponto de Steiner. O ponto de Steiner é sempre um ponto do circuncírculo.




Sobre esta construção, criada com GeoGebra, pode deslocar os vértices para verificar os invariantes. A única ferramenta - ao cimo à direita - permite-lhe voltar ao ponto de partida. Se precisar da aplicação GeoGebra, basta clicar duas vezes sobre o quadro dinâmico.