Ponto Mediano (?) (mitten punkt, middle point)

Dado o triângulo ABC, tomemos o triângulo I_aI_bI_c dos seus exincentros
Vamos determinar o ponto simediano de I_aI_bI_c; teremos, como se sabe, de determinar as simétricas das medianas em relação às bissectrizes. Como se pode verificar na construção feita em relação ao vértice I_b, a simétrica da mediana I_bM_b' passa pelo ponto médio M_b do lado b do triângulo ABC. Para obter o ponto semi-mediano de I_aI_bI_c basta, portanto, traçar as rectas I_aM_a,I_bM_b, I_cM_c. O ponto de intersecção destas três cevianas (uma por cada triângulo) é o chamado "ponto mediano" M_d.



[A.A.F.]

Pontos de Feuerbach e Euler

O ponto de Feuerbach é o ponto de reflexão de Euler da recta OI relativamente ao triângulo dos pontos de tangência do incirculo com o triângulo [ABC].
A recta OI é a recta de Euler do triângulo dos pontos de tangência do incírculo com o triângulo [ABC].


[M.I.H.B.S.]

Ponto de Euler

A recta e de Euler pode reflectir-se em cada um dos lados a=BC, b=CA e c=AB sendo as imagens de e por essa reflexão as retas e_a, e_b e e_c respectivamente. E estas têm um ponto comum designado por E - ponto de Euler.

Esta construção é, em certa medida e em parte, repetida na construção que se segue:

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No triângulo [ABC], tomemos os centros A', B' e C' dos triângulos equiláteros construídos sobre os seus lados. As quatro circunferências definidas pelos ternos de pontos ABC, AB'C', BC'A' e CA'B' intersectam-se no ponto E de Euler.

Nota: As etapas 2 a 5 respondem ao enunciado acima. A etapa 6 chama-nos à atenção para o seguinte:
Se é verdade que as circunferências ABC, AB'C', BC'A' e CA'B' têm um ponto comum, então,
também têm um ponto comum as circunferências A'B'C', A'BC, B'CA e C'AB que é o ponto E' = F de Feuerbach.

Ponto de reflexão de Euler

Os circuncentro, ortocentro e baricentro estão alinhados sobre a recta de Euler. As transformadas da recta de Euler por reflexão relativamente a cada um dos lados do triângulo [ABC] (como eixos da reflexão) encontram-se num ponto do circuncírculo a que damos o nome de ponto de reflexão de Euler.



[A.A.F.]

Ponto de Fhurmann

Consideremos o triângulo ABC e o seu círculo circunscrito.
Tomemos sobre a circunferência A' ponto médio do arco BC, B' ponto médio do arco AC e C' ponto médio do arco AB.
Chama-se "triângulo de Fhurmann" ao triângulo A''B''C'', sendo A'' simétrico de A' em relação a BC, B'' simétrico de B' em relação a AC, C'' simétrico de A' em relação a AB,
O circuncírculo de A''B''C'' é o "círculo de Fhurmann" e o seu centro é o "ponto de Fhurmann.

[A.A.F.]

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O segmento definido pelo incentro I e pelo ponto de Fhurmann Fh tem o centro N do círculo de nove pontos como ponto médio: Fh é simérico de I em relação a N.

O segmento definido pelo circuncentro O e pelo ponto de Fhurmann Fh tem o ponto Sp como ponto médio: Fh é simétrico de O em relação a Sp.


[A.A.F.]