Triângulos inversamente semelhantes

Dado o triângulo ABC, sejam V₁ e V₂ os seus pontos de Fermat e W₁ e W₂ os pontos isodinâmicos. Os triângulos [V₁V₂W₁] e [V₁V₂W₂] são inversamente semelhantes. De facto, são iguais os ângulos ∠V₁V₂W₂ = ∠ W₁V₁V₂, etc



[A.A.F.]

Pontos Isodinâmicos e de Napoleão

Recordemos que para obter os pontos isogónicos (ou de Fermat), W₁ e W₂, construímos triângulos equiláteros sobre os lados do triângulo ABC exteriormente (interiormente) e unimos o ápice de cada um com o vértice oposto. Para obter os pontos de Napoleão, Np₁ e Np₂, unimos os centros dos triângulos externos (internos) com os vértices opostos.



[A. A. F.]

Verifica-se que:
- as rectas W₁Np₁ e W₂Np₂ se intersectam no ortocentro H;
- as rectas W₁Np₂ e W₂Np₁ se intersectam no ponto médio do segmento definido pelo circuncentro O e pelo centro do círculo de nove pontos N.

Outro processo de obter pontos isodinâmicos

Para obter os pontos isodinâmicos de um triângulo ABC, tomemos

• os simétricos de A relativamente a BC (A₂), de B relativamente a AC (B₂) e de C relativamente a AB (C₂);


• os ápices dos triângulos equiláteros construídos sobre os lados de ABC, externamente A₁, B₁ e C₁ ou internamente A_1*, B_1* e C_1*

As rectas A₁A2, B₁B₂ e C₁C₂ encontram-se num dos pontos isodinâmicos de ABC e as rectas A_1*A₂, B_1*B₂ e C_1*C₂ encontram-se no outro.




[A.A.F.]

Pontos Lemoine e Isodinâmicos

Determinar os pontos de Lemoine e Isodinâmico (primeiro) do triângulo [ABC].

Mais uma propriedade dos pontos isodinâmicos

As distâncias dos pontos isodinâmicos do triângulo ABC aos vértices são inversamente proporcionais aos comprimentos dos lados opostos.