Elipse: diâmetros conjugados

Na elipse da construção tomámos uma corda [AB] que (é polar) tem um pólo P exterior que é a intersecção das tangentes à cónica em A e em B.



[A.A.F.]

Na construção acima pode deslocar o ponto B: há uma posição em que a corda passa pelo centro O e se torna um diâmetro. Qual o seu pólo? Como as tangentes ficaram paralelas, o pólo P é o “ponto do infinito” dessa direcção (um ponto impróprio).
A polar do ponto do infinito da direcção definida pelas paralelas ao diâmetro [AB] vai ser o diâmetro [CD].




Mantenhamos a corda [AB] a passar pelo centro. Dois diâmetros, tais como [AB] e [CD] dizem-se “conjugados”: cada um é a polar da direcção definida pelo outro.

[A.A.F.]

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É óbvio que, se dois diâmetros são conjugados, cada um bissecta as cordas paralelas ao outro: A.A.F. dixit

Conjugados e separação harmónica

Os pontos conjugados de uma secante p a uma elipse são conjugados harmónicos relativamente aos pontos R e S de intersecção de p com a elipse: (P’RMS) = -1.




[A.A.F.]

Elementos conjugados

Consideremos um ponto P e seja p a sua polar em relação à elipse. A polar p’ de um ponto P’ que pertence a p é uma recta que contem P. Os pontos P e P’ dizem-se conjugados; as rectas p e p’ são conjugadas. Na construção a seguir pode deslocar P.


[A.A.F.]


Dois pontos são conjugados se cada um pertence à polar do outro.
Duas rectas são conjugadas se cada uma passa pelo pólo da outra.
No triângulo [PP’M] cada vértice é o pólo do lado oposto; diz-se, por isso, autopolar.

Elipse: Da polar ao pólo

Dada uma recta p e uma elipse, determinar um ponto P que seja o pólo de p relativamente à elipse

Da polar ao polo

Apresentámos a determinação da polar de um ponto dado relativamente a uma cónica dada. Agora, aqui deixamos um exercício interactivo de determinação do pólo de uma recta dada relativamente a uma dada cónica.

Dada uma recta p e uma cónica c₁, determinar um ponto P que seja o pólo de p relativamente à cónica c₁







Nota: A construção deste exercício foi muito elucidativa das dificulades em trabalhar com reconhecimento de pontos obtidos por construções que recorram à incidência de um ponto sobre uma cónica qualquer. Embora ReC reconheça a incidência e faça deslizar um ponto sobre uma cónica não é garantido utilizar esse ponto ou as suas coordenadas aproximadas em ulteriores determinações delas dependentes.