O que se pode tirar de dois pontos de uma parábola

A construção seguinte ilustra uma propriedade da parábola muito interessante que permite determinar a distância do foco à directriz se conhecermos o eixo e dois dos seus pontos.


[A.A.F.]
Tomados dois pontos A e B da parábola, consideremos o ponto M médio de [AB]. As perpendiculares tiradas por M a AB e ao eixo da parábola intersectam o eixo em dois pontos P e Q tais que |PQ|=p que é a distância de F a d.

NOTA DE CONTROLE:
Desloque A e B (livremente sobre a parábola) para verificar que o processo conduz a um segmento de comprimento constante.

As parábolas do ano que finda...

António Aurélio Fernandes continuou a propor exercícios sobre parábolas. Sempre foi misturando as suas propostas com algumas propriedades da parábola (relações entre elementos da parábola). Tudo para justificar ter falado em tempos numa vaga de problemas de parábolas. Não sabemos se deste ano sobrará tempo para preparar todos os exercícios interactivos que ele propõe.
Pelo sim, pelo não, aqui ficam para que possa pensar ainda este ano sobre essas propriedades e exercícios.
Duas propriedades...
Propriedade: O simétrico F' do foco F em relação a uma tangente à parábola está sobre a directriz.
Propriedade: (Dualmente) A simétrica da directriz relativamente a uma tangente passa pelo Foco.
... para dois exercícios (que pode resolver aqui mesmo):
Exercício: Determinar a directriz d de uma parábola de que são dadoso foco F e duas tangentes, t e t'.



Exercício: Determinar o foco F de uma parábola de que são dados a directriz d e duas tangentes, t e t'.

O foco na parábola

António Aurélio enviou mais um problema de parábolas, este para determinar o foco. A saber:
Determinar o foco F de uma parábola que passa pelo ponto M, tem por directriz a recta d e é tangente à recta t .

No seu cartão de Natal, dizia ele, a respeito destes problemas de parábolas: Nunca é demais lembrar, para a resolução da presente "vaga" de exercícios sobre parábola que se trata do lugar dos pontos equidistantes do foco e da directriz. Acompanho a lembrança com uma ilustração tirada de uma animação que fiz mesmo agora.

Parábola de Natal

O idoso professor andava tão feliz quanto infeliz por não compreender o que se tinha passado com o seu estojo de régua e compasso. Por mais que tentasse, não conseguia mostrar nenhum dos seus exercícios feitos com o novo estojo. Irrita não compreender, mas é sinal de vitalidade tentar compreender sem descanso as pequenas coisas que estão ao nosso alcance. O seu companheiro, tão idoso como o idoso professor mas com tanto tempo como um reformado professor tem, não se cansava de enviar para publicação os exercícios que, do passado, lhe eram sugeridos pela leitura das páginas de algum dos amarelecidos volumes "Éxércices de Géométrie" que Th. Caronnet publicou na década de 40 do século passado (ainda não tinha nascido a Mariana). Tanta insistência só podia aumentar o desespero do idoso professor. Ou não. Porque se deu o milagre de Natal: com mais tempo e empurrado pela insistência do companheiro construtor, o idoso professor lá conseguiu compreender o que sempre lá tinha estado e fácil de ver.

Posso dar hoje o primeiro exercício interactivo feito com a nova versão (5.1) do "Régua e Compasso" (Zirkel und Lineal). Proposto por António Aurélio Fernandes, aqui vai. Cliquem sobre o enunciado e acedam ao exercício interactivo

Determinar a directriz de uma parábola que tem foco F, passa por M e é tangente à recta t

Se puderem, escrevam a dizer-nos se gostam mais da nova versão.

Directriz de Natal

António Aurélio Fernandes envia este problema para alegrar o Natal dos geómetras:
Determinar a directriz de uma parábola de que são dados o foco F e dois dos seus pontos, A e B
Clique no enunciado para aceder ao exercício interactivo.