Dada uma reta a, e 4 pontos dela A, A', B, B' , como determinar nela um quinto ponto M tal que AM / BM = AM' / BM'

Estamos a restaurar mal, que os tempos são outros, a solução de um exercício interactivo proposto em 21 de Maio de 2013 que foram "deprecated" até retorcido se ver o texto e nada se ver da construção. Por não termos culpa, não pedimos desculpa.

Segmento de reta perpendicular a lado de triângulo para o dividir em dois polígonos equivalentes

Restaurámos uma construção agora com recurso a GeoGebra para substituir uma outra que foi inicialmente publicada em 25 de Junho de 2006 Dividir um triângulo em 2 para funcionar como exercício interactivo recorrendo à aplicação Zul - zirkel und lineal (Cal - compasso e régua) de R. Grothmann. Já não se via há anos e agora já não é o que era, claro, por razões que a nossa razão desconhece.... e entristece. Vamos respondendo a empurrões teimosos de A.A.F. (e outros) que ficarão desiludidos por não serem as (deprecated) originais...

Vamos dividir um triângulo em dois polígonos equivalentes por uma recta perpendicular a um dos lados? Vamos.



[A.A.M]
Como determinámos [DE] perpendicular a AB que divida [ABC] em dois polígonos equivalentes:

---

1. Tomámos um triângulo de vértices A, B, C e lados a=BC, b=CA e c=AB. Considerámos também um ponto U e por ele, uma reta r paralela a c. Pode mover o ponto U e com ele a reta r.
2. Considerado o ponto M médio de AB, tomámos a circunferência de centro U e raio AM ou MB e o ponto P um dos pontos comuns a r e (U, MB).
3. E o ponto Q de r: PQ=BH_c, sendo H_c o pé da perpendicular a AB tirada por C:
   CH_c é uma altura do triângulo [ABC] sendo a área deste metade de AB*CH_c.
   Q é um dos dois pontos comuns a r e à circunferência (P, BH_c)
   
4. A circunferência de diâmetro QU tem centro R: RU=UQ.
   E é intersectada em S pela perpendicular a (r ou a ) AB tirada por P.
5. A circunferência de centro B e raio PS intersecta BA em D, ou seja BD=PS e a perpendicular a AB tirada por D intersecta BC em E que, os calculados BD*DE e da figura DBE nos leva a pensar (conjecturar) que é esta DE (assim determinada) quem divide ABC em dois polígonos [ADEC] e [DBE] equivalentes.
6. ?