Nesta entrada, consideramos duas circunferências de raios \;r\; e \;s\; com centros, respetivamente, em \;A\; e \;C,\; e tangentes em \;B:\; \;\; (A,\;r), \;(C,\;s)\; - sendo \;r=5 \times s\; ou \;s= \displaystyle \frac{r}{5}\;.
Um ponto que faça uma volta completa em torno de \;A\; pela circunferência \;(A, \;r)\; faz um percurso de comprimento \;2\times \pi\times r.\;
Se considerarmos que é a circunferência \;(C, \;s)\; que rola, sem arrastamento, tangencialmente a \;(A, \;r)\; uma volta inteira, de pontos de tangência, ocupará um arco \;2\pi r.\; E, sendo \;B\; a posição de tangência na partida para a aventura de tal volta, ele tomará posições \;T = \mbox{Rot}_A^\alpha (B)\; enquanto, nas condições do problema de rolamento sem arrastamento, o ponto \;B,\; como ponto fixo de \;(C, \;s)\; terá de tomar posições reais \;T'\; em posições \;(C',\;T)\; obtidas por \; \mbox{Rot}_A^\alpha(B')\; sobre esta, só voltando a ser ponto de tangência a cada volta completa, isto é, quando \;T'= \mbox{Rot}_{C'}^{2n\pi s}(B) \;\;\; n=1,2,3, ...\; coincidir com uma das posições \;T = \mbox{Rot}_A^\alpha (B) .\; Este ponto \;T'\; do qual procuramos saber o seu lugar geométrico quando \; \alpha\; toma valores de \; [0, n\pi ]\; em radianos (com \;n\; natural ), também pode ser obtido por uma rotação do ponto \;B\; de ângulo \; \alpha\; em torno de \;A\; seguida de uma rotação de ângulo \;r\alpha / s \; em torno de \; C' = \mbox{Rot}_A^\alpha (C)\;
Para cada \; \alpha , \; o arco de \;(A,\;r),\; \;\; \widehat{BAT}=r \times \angle B\hat{A}T\; ou seja tem comprimento \; r\times \alpha.\; Ao fim da primeira volta de \;(C, \;s) \;, a posição \;B'\; é tal que o comprimento do arco \;\widehat{BCB'} =2 \times \pi \times s = \displaystyle\frac{2 \pi r}{5}\; coincidirá com uma posição \;T_\alpha\; em que \;\alpha =\displaystyle \frac{2\pi}{5}.\;
São precisas cinco voltas completas de \;(C,\;s)\; para que a posição \;T\; coincida com a posição inicial \;B.\;
Por ser \;s = \displaystyle\frac{r}{5},\; ao dar uma volta completa de \;(C,\;s),\;\;\; T'\; percorre um comprimento \;2\pi s = \displaystyle 2\pi \frac{r}{5}.\; É claro que \;T',\; ao tomar todas as posições pontos de \;(C, s]\; no seu rolamento a partir de \;B,\; os pontos \;T\; de tangência passam pela quinta parte da circunferência \;(A,\;r).\; E, só ao fim de cinco voltas, é que \;T'\; que, depois de partir da posição \;B\;, a ela volta:
Cinco pétalas, cada uma partilhando um ponto em comum com a contígua, com a roda que rola e com a roda carril.
