GEOMETRIA

31.12.13

Reflexões

Tomámos duas retas perpendiculares e uma circunferência de raio 1 e centrada no ponto de interseção das retas perpendiculares. As figuras restantes podem ser obtidas como transformados do polígono (cimo direita, com vértices verdes) por refexões relativamente às retas perpendiculares e à circunferência.

Deslocando os vértices do polígono (pontos verdes) pode variar o polígono original e observar as mudanças nos corrrespondentes pelas reflexões.

20.12.13

Coordenadas, equações e inversão (4. Parábola)

Nesta entrada, começamos por tomar a circunferência

$\;\;\;x^2 + y^2=2 \;\;\;$ para circunferência de inversão e a parábola de equação

$\;\;\;\;y=x^2 \;\;\;\;$ num dado referencial ortonormado

$xOy$
Lembramos que, pela inversão

$I(O, 1)$ , o inverso de um ponto

$P(x,y)$ é

$\;\;\;\;P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$ .

As coordenadas dos pontos

$P(x,y)$ da parábola (azul, na figura) verificam a condição

$\;\;\;\; y=x^2 \;$ .

$\begin{matrix} &\;\;\;\; I(O,1)\;\;\;\;&\\ y=x^2 &\;\;\;\longmapsto \;\;\;& \frac{y}{x^2+y^2} = \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 \end{matrix}$ e,para

$(x,y)≠(0,0)\;$ ,

$\frac{y}{x^2+y^2} = \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 \Longleftrightarrow y(x^2+y^2)=x^2 \Longleftrightarrow x^2y - x^2+y^3=0$ Esta última é a equação da curva inversa da parábola que é mostrada na folha algébrica do geogebra. Para

$(x,y)=(0,0)$ , a aplicação daria valores indeterminados para as coordenadas do inverso de

$O$ . Considerando o plano inversivo, o inverso do centro de inversão é o ponto ideal

$Z (\infty)$ . O plano inversivo e o ponto ideal (convencional) estão tratados na entrada de 31 de Julho p.p.: " Plano inversivo. A inversão é uma involução do plano inversivo:-) ".

Pode ter interesse ver outras situações diferentes daquela que é descrita no texto desta entrada. Se deslocar o círculo de inversão, ou a parábola, pode observar diferentes posições da circunferência de inversão e da parábola e respetiva curva inversa.