Posições harmónicas numa reta

Em "Perpectives on Projective Geometry", Richter-Gebert escreve que há algumas (poucas) coleções notáveis de posições relativas de pontos que geram conjuntos harmónicos e apresenta como exemplo uma coleção de equações em x e y, a saber:

1. (-x, x; 0, ∞) = -1
2. (0, 2x; x, ∞) = -1
3. (x, y; (x+y)/2, ∞) = -1
4. (-1, 1; 0x, 1/x) = -1
5. (-x, x; 1, x2) = -1

em que para facilitar se identificam pontos numa reta com correspondentes números reais incluindo o ponto ∞ para o ponto no infinito.
Para explicitar, começa por verificar que para um ponto x arbitrário (ou número real arbitrário), recorrendo à definião de razão cruzada e às operações com expressões algébricas de variável real,
(-x, x; 1, x2) = -1, no seguinte sentido
(-x, x; 1, x2)=[(1+x).(x2-x)]/[(x2+x).(1-x)]=[(1+x).x.(x-1)] /[x.(x+1).(1-x)]=-1
Por exemplo, o par (1,4) separa harmonicamente o par (-2,2), Fixados -2, 2, 1 a posição 4 é interseção de -2'2'.r não dependendo de O nem de P (este último ponto arbitrario de 1P).

Duas determinações da razão cruzada de 4 posições harmónicas

Primeira.
Na entrada anterior, concluíamos com a afirmação de que se entre os pontos A, B, C e D colineares se estabelecesse uma relação harmónica, então a razão cruzada (a,b;c,d) seria -1. Este facto decorre do anterior resultado sobre permutações de pontos e de razões cruzadas que relembramos agora as que nos interessam para calcular a razão cruzada de quatro pontos em relação harmónica :

• (a,b;c,d)=(b,a;d,c)=(c,d;a,b)=(d,c;b,a)
  e os equivalentes resultados com conjuntos harmónicos H(AB, CD) sse H(BA, DC) sse H(CD,AB) sse H(DC,BA)
• (a,b;c,d)=1/(a,b;c,d)
  sendo que, para o caso das relações harmónicas, se provou que H(AB,CD) sse H(AB,DC), obrigando
  (a,b;c,d)=(a,b;d,c) e, portanto, (a,b;c,d).(a,b;c,d)=1 e, em consequência, (a,b;c,d)=1 ou (a,b;c,d)=-1.
  Para pares (a,b) e (c,d) em posições harmónicas em que a é distinto de b e c é distinto de d, como c-b e d-b são de sinais diferentes a razão (a,b;c,d) não pode ser positiva e só resta ser (a,b;c,d)=-1.

Assim é natural dizermos que a razão cruzada (a,b;c,d)=-1 é a razão harmónica e às razões cruzadas diferentes de -1 chamamos razões anarmónicas.

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Segunda.
Para a construção que se segue, tomamos 3 pontos colineares A, B, C sobre uma mesma reta. Para determinar um conjunto harmónico de que esses três pontos sejam elementos, tomámos um ponto auxiliar O e traçamos AO, BO e CO. Sobre CO tomamos um novo ponto auxiliar P e traçamos AP e BP. A'=AO.BP e B'=BO.AP. O quarto ponto D do conjunto harmónico é AB.A'B'=D. A e B são pontos diagonais de A'PB'O, C e D são pontos de AB dos lados opostos do quadrângulo OP e A'B'.
Pretendemos ilustrar que quaisquer escolhas para O e P dão sempre o mesmo D e ver como a relação harmónica se mantémm por permutação dos elementos de um dos pares do quaterno, e tem como consequência o valor -1 para a razão cruzada correspondente.
[A.A.M.]
O ponto O pode ser tomado como centro de uma perspetividade que transforma ABCD em A'B'C'D. Por isso, (a,b;c,d)=(a',b';c',d').
De modo análogo, P é o centro de uma perspetividade que transforma A'B'C'D em BACD e, por isso, (a',b';c',d)=(b,a;c,d). Conclui-se finalmente que (a,b;c,d)=(b,a;c,d). E, como (b,a;c,d)=1/(a,b;c,d), (a,b;c,d)=-1.