Polaridade a partir de um triângulo auto-polar

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Mais do que uma vez, introduzimos ligações entre as palavras polar, polo e triângulos, de que são exemplos os artigos Polar trilinear de um ponto, Polar trilinear , Da polar trilinear para o pólo , etc. Polaridade trilinear pode já ter sido expressão utilizada. Essas expressões e, em particular, a polaridade trilinear introduzida não é uma polaridade, no sentido de que não é uma correlação projetiva que faz corresponder a cada ponto (reta) uma só reta (ponto), tal que se X tem por polar x, x tem por polo X e preservando a incidência.

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Vamos agora provar que
Qualquer correlação projetiva que relacione cada um dos três vértices de um triângulo com o seu lado oposto é uma polaridade
Considere-se a correlação ABCP→abcp, em que a, b, c são os lados de um triângulo ABC e P é um ponto distinto dos vértices do triângulo. E seja p uma reta que não passa por qualquer dos vértices do triângulo.
O ponto P e a reta p determinam 6 pontos sobre os lados do triângulo P_a=a.AP, P_b=b.BP, P_c=c.CP, A_p=a.p, B_p=b.p, C_p=c.p A correlação, transformando A,B,C em a,b,c, transforma a=BC em b.c=A, b=AC em a.c=B, c=AB em a.b=C, AP em a.p=A_p, BP em b.p=B_p, CP em c.p=C_p.
Claro que transforma o triângulo (cada vértice no lado oposto, cada lado no vértice oposto) como uma polaridade.
Falta ver que, para além de transformar P em p, também transforma p em P.
A correlação transforma cada ponto X de c numa certa reta que interseta c em Y. Como se trata de uma correlação projetiva, X e Y são projetivos. Quando X é A, Y é B e quando X é B, Y é A. Dito de outro modo a correlação transforma A em B e B em A. Já que a correlação transforma P_c=c.CP em CC_p, como vimos para A e B, P_c→C_p e C_p→P_c. A correlação transforma ainda C_p=c.p em CP_c=CP. E do mesmo modo, a correlação transforma A_p=a.p em AP e B_p=b.p em BP. Finalmente, podemos concluir que esta correlação transforma p=A_pB_p=(a.p)(b.p) em AP.BP=P.

Ficou assim provado que a correlação ABCP→abcp é uma polaridade. De futuro, esta polaridade assim definida pode ser representada por (ABC)(Pp)

Triângulo auto-polar.

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Lembramos que:
a) Uma polaridade é uma correlação projetiva que, se transforma um ponto A numa reta a', transforma a' em A: A polo de a', a' polar de A. b) Se A é um ponto de b e B, polo de b, é um ponto de a, polar de A, dizemos que A e B são pontos conjugados, e que a e b são retas conjugadas.
c) Um ponto A que incide na sua polar a' é conjugado de si mesmo (auto-conjugado). Dualmente, se uma reta a contem o seu polo, é conjugada de si mesma (auto-conjugada).
No artigo anterior, demonstrámos que Uma reta que passa por 2 pontos conjugados de si mesmos não pode ser conjugada de si mesma
e que
Uma reta não pode inicidir em mais que dois pontos conjugados de si mesmos.
Pode demonstrar-se também que
uma reta auto-conjugada contém um só ponto auto-conjugado.
Uma reta conjugada de si mesma contém o seu polo, que é auto-conjugado (conjugado de si mesmo). A existência sobre a reta auto-conjugada de outro ponto auto-conjugado é absurda já que haveria dois pontos diferentes associadas a uma mesma reta por uma correlação que associa a cada ponto uma só reta e a cada reta um só ponto.
Sejam dois pontos, X e Y, conjugados por uma polaridade sobre uma reta que não seja conjugada de si mesmo. Então há uma correspondência que associa a qualquer ponto de c, não autoconjugado, um outro ponto de c.
De facto, na reta c, não autoconjugada, a projetividade X→Y, em que Y=c.x, transforma qualquer não auto-conjugado ponto B num outro ponto A=b.c, cuja polar é BC=a. A mesma projetividade transforma A em B.

Dualmente, as retas x e CX=y são emparelhadas com retas conjugadas do feixe centrado em C.

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Um triângulo como ABC, em que cada vértice é o polo do seu lado oposto (ou em que quaisquer dois vértices são pontos conjugados, ou em quaisquer dois lados são retas conjugadas) é classificado como triângulo auto-polar