De um quadrilátero a outro com o mesmo triângulo

Na construção que se segue, tomámos um quadrilátero completo de vértices P,Q, R, S. Os pontos A, B, C são as interseções de lados PS.RQ=A, QS.RP=B e QP.RS=C que não são vértices. Ao triângulo ABC chamamos triângulo diagonal de lados a=BC,b=AC,c=AB.
Acrescentando as interseções dos lados do triângulo ABC com os lados do quadrilátero de vértices P, Q, R, S, a saber:
BC.QR=A₁, AC.PR=B₁, AB.QP=C₁ e BC.PS=A₂, AC.QS=B₂, AB.RS=C₂; que definem as retas p=A₁B₂,
q=B₁A₂, r=A₂B₂ e s=A₁B₁, obtemos um quadrilátero de lados p, q, r e s, cujo triângulo diagonal a, b, c é o mesmo triângulo ABC, diagonal de PQRS.



[A.A.M.]

Demonstração do Teorema de Desargues

Duas pontuais ou dois feixes dizem-se perspetivos quando estão relacionados por uma perspetividade. Esta noção estende-se a figuras envolvendo mais do que um ponto e mais do que uma reta. Dois exemplares de uma figura da mesma espécie dizem-se perspetivos se entre os seus pontos se pode estabelecer uma correspondência um para um que seja tal que os pares de pontos correspondentes estão sobre retas concorrentes ou se entre as suas retas se pode estabelecer uma correspondência uma a uma que seja tal que os pares de retas correspondentes se intersetam em pontos colineares.
Na construção abaixo há dois triângulos PQR e P'Q'R' perspetivos já que os lados correspondentes PP', QQ' e RR' incidem no ponto O. Será que os lados correspondentes se intersetam em pontos colineares? Como se vê na figura, D=RQ.R'Q', E=PR.P'R' e F=PQ.P'Q'. A figura sugere que são colineares. Serão?
Na construção, tomámos A=OP.DE, B=OQ.DE e C=OR.DE e, por isso OPAP' é perspetivo (por E) a ORCR' que, por sua vez, é perspetivo (por D) a OQBQ'. Assim podemos dizer que O é imagem de si mesmo pela projetividade entre as pontuais PAP' e QBQ' e, conforme já vimos antes, esta projetividade é uma perspetividade. O centro desta perspetividade só pode ser F e este está sobre AB que é DE. Assim D, E e F são colineares.
Acabamos de demonstrar que se dois triângulos são perspetivos em relação a um ponto são perspetivos em relação a uma reta.

[A.A.M.] Este resultado, agora demonstrado, é o que chamámos Teorema de Desargues, que assim pode deixar de ser considerado axioma.
Alguns axiomas foram sendo referidos e, entre estes, referíamos o Teorema de Desargues como axioma e, a partir dele, demonstrávamos o dual.