Grupo de simetrias gerado por uma reflexão deslizante

Na construção que apresentamos a seguir, o friso de duas filas de RRR(erres) corresponde a um grupo de simetrias gerado por uma reflexão deslizante g, associada ao eixo de reflexão a e ao vector v. Clicando no botão 'reflexão deslizante' pode ver o espelho (a) e o vetor (v) a ela associados. Clique depois em 'deslocar para ver a simetria' (por translação e ver a composição que a simetria reflexão deslizante é neste friso) e faça deslizar o ponto verde, que aparece destacado, segundo u=2v. Lembramos que g.g=t_u.

O ponto negro que sempre esteve visível permite modificar a "figura friso" mantendo o mesmo grupo de simetrias



p1a1, a de alternate

O conjunto de simetrias deste friso é {gⁿ | n ∈ Ζ} em que g representa a reflexão deslizante.

Notas: Sobre a reflexão deslizante, aconselhamos a leitura das entradas, de 2009, neste blog, sobre os deslocamentos rígidos do plano. Particularmente:
sobre a reflexão deslizante e as compostas de translações com reflexões, de um modo geral;
sobre as compostas de reflexões com translações equivalentes a compostas de translações com reflexões.

Grupo de simetrias gerado por reflexão horizontal e translação

Na construção se se segue partimos de um friso de RRRR (erres) com simetria de translação (correspondente ao primeiro grupo infinito de simetrias aqui apresentado). Clicando sobre o botão 'reflexão' obtém-se, por reflexão um novo friso correspondente a um grupo de simetrias gerado por uma translação t associada a um vector u e uma reflexão h de eixo a (com a mesma direção de u). O conjunto de simetrias deste friso é {tⁿ}_n∈Ζ ∪ {h.tⁿ} _n∈Ζ. Designamos esta reflexão por h, por a tomarmos horizontal nas representações.
O botão "deslocar para ver" serve para ver as simetrias por translação no friso p111 de que se parte e o friso p1m1 a que se chega.


Finalmente ainda nos interessa mostrar como se passa deste friso para o outro p1a1 que é objecto da próxima entrada. Para isso, basta clicar no botão alternar. Claro que, depois de clicar em 'alternar', pode deslocar o ponto a preto bem como o ponto verde, observando o que acontece.