Um grupo de simetria gerado por uma só translação associada a um vetor

Do mesmo modo que apresentámos uma rosácea com repetições segundo direções diferentes em torno de um ponto e igualmente espaçadas de uma amplitude angular, na construção seguinte apresentamos uma figura onde podemos observar um padrão de repetições segundo uma determinada direção. Um determinado vetor dá-nos a direção das repetições e o espaçamento (em comprimento) entre as repetições.
Clique sobre o botão 'vector' para ver o vetor u associado à translação t geradora do grupo de simetrias da figura. Pode clicar sobre o botão 'deslocar para ver' que lhe permite verificar que o grupo de simetrias é constituído por um número infinito de isometrias (no caso, translações) todas diferentes, a saber t, t.t=t², t³, .... e a inversa de t, associada ao vector -u com comprimento e direção de u no sentido contrário, t^-1 bem como produtos t^-2, t^-3, t^-4... Observe-se que t².t² =t⁴, t^-1.t^-2=t^-3 ou t⁵.t^-1= t⁴,




Nas classificações de frisos, usamos p para indicar a periódica repetição segundo uma só direção.
O conjunto de simetrias deste friso é {tⁿ|n∈Ζ}, que frequentemente aparece classificado como p111