A equação ax+x2=b2

Para resolver geometricamente a equação ax+x²=b², em ordem a x, basta tomar um triângulo retângulo BCQ de catetos a/2 e b. O quadrado sobre a hipotenusa CQ tem área b²+a²/4. Se tomarmos x tal que .5a+x=CQ, temos a equação resolvida.
Na construção que se segue, pode fazer variar a e b.


De facto, CQ²=(.5a+x)² =b²+(.5a)² ou seja a área b² do quadrado de lado b é igual a 2(.5ax)+x², área do retângulo de dimensões x e a+x (como bem mostra a figura) ou da soma do retângulo ax com o quadrado x².

A equação ax=b2

Um problema simples e interessante a resolver geometricamente é o que consiste em determinar a dimensão x de um rectângulo ax equivalente a um quadrado b², ou seja resolver a equação ax=b², em que a e b são números quaisquer. A construção geométrica que se apresenta a seguir dá a solução para todos os valores de a e b. Pode variar os comprimentos a e b e encontra uma solução para cada par (a,b).




A construção parte de um quadrado ABCD de lado b que é aumentado do seguinte modo:
Prolonga-se AB até AE de tal modo que BE=a e constrói-se o retângulo AEFD de dimensões a+b e a. O retângulo GLFD é obtido a partir da determinação de G como interseção da recta DA com FB.
Este retângulo DGLF (a+b)(b+x) é dividido pela sua diagonal FG em dois triângulos retângulos iguais.
O triângulo retângulo DFG é decomponível em b² + (ab/2)+(bx)/2 enquanto que FLG é a soma de ax+(ab/2)+(bx)/2. O que permite concluir que ax=b².

A partir de Revisitando uma velha conhecida de João Bosco Pitombeira, de que recomendamos a leitura.