Os spliters e o primeiro ponto de Nagel

Ricardo Portugal enviou-nos uma mensagem em que escrevia: (...) terminei (...) a minha monografia de fim de curso que aborda alguns temas de geometria euclidiana pouco divulgados, nomeadamente cleavers e spliters. (...) Não sei como se costuma fazer para que os temas sejam publicados no fórum, o que gostaria de saber é se haveria hipótese de publicar o meu trabalho, ou pelo menos partes dele, para serem discutidas, (...) seria uma forma de divulgar alguns resultados de geometria euclidiana recentes.
Aceitamos todas as sugestões e o Ricardo Portugal enviou a sua monografia (Portugal; Ricardo Filipe Marques. Geometria Euclidiana - Cleavers and Spliters. 2008 (baseada na obra de Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry). Agradecemos a sua confiança e apoio. Aos interessados na monografia de Ricardo Portugal e na sua discussão, sugerimos que cliquem sobre o nome do autor para o contactar.

Alguns dos resultados do tema que estamos a publicar actualmente (sob direcção de Aurélio Fernandes, como quase sempre) estão abordados na monografia de Ricardo Portugal e, seguindo o conselho de Ricardo, divulgamos os termos em uso (spliters, por exemplo. Alguns destes resultados já apareceram e foram abordados em artigos anteriores.

O resultado seguinte trata da recta que passa por um vértice A de um triângulo [ABC] e pelo ponto F de [BC], ponto de tangência do círculo ex-inscrito. A uma ceviana assim definida dá-se o nome de spliter por ser verdade que |AB|+|BF|=|AC|+|CF|(o perímetro fica dividido em duas partes de igual medida). Split significa divisão, cisão, ruptura. Talvez por não haver uma palavra única em portugês que traduza spliter é que não se encontre designação equivalente em obras portuguesas.

A construção seguinte, em que pode provocar variações, permite-lhe confirmar que [AF] é um spliter de [ABC], resultado de que está escrita a demonstração. Claro que, em cada triângulo há 3 spliters deste tipo.




Ricardo Portugal utiliza este resultado para provar a existência do primeiro ponto De Nagel, com recurso ao Teorema de Ceva. Mais ou menos assim:





Por AF ser spliter a₂+b₁+b₂é um semiperímetro
E a₁+a₂+b₁ é também semiperímetro do triângulo já que BE é também spliter do mesmo triângulo.
De a₁+a₂+b₁=a₂+b₁+b₂, sai que a₁=b₂.

De modo análogo, se conclui que b₁=c₂ e a₂=c₁

a₁ /b₂=1, b₁/c₂=1 e a₂/c₁=1

(a₁/b₂)(b₁/c₂)(c₁/a₂) =1

(a₁/a₂)(b₁/b₂)(c₁/c₂) =1

(|BF|/|CF|).(|CE|/|AE|).( |AD|/|DB|) =1

E assim fica claro que estas cevianas AF, BE e CD verificam o teorema de Ceva e, por isso, se intersectam obrigatoriamente num ponto - o primeiro ponto de Nagel....

Os outros pontos de Nagel

Pelo meu lado, nem todos os pontos notáveis interessam. Nas mais importantes enciclopédias (outras línguas, outras línguas) não vi referência nem construção dos pontos de Nagel. Enquanto que os 4 pontos de Gergonne aparecem várias vezes referidos e as construções aparecem desenhadas, tal não acontece com os pontos de Nagel. Pareceu-me que na sua definição havia uma bela "mestiçagem". De facto, os pontos de Nagel não aparecem como intersecção de 3 rectas tiradas dos vértices para pontos dos lados opostos, como acontecia com os pontos de Gergonne, todos eles pontos de tangência dos círculos inscritos ou exinscritos. No caso dos pontos de Nagel, assim não é: De dois vértices conduzem-se rectas a passar pelos pontos de tangência dos ex-incírculos nos seus lados opostos, mas a terceira recta é tirada do terceiro vértice para o ponto de tangência do círculo inscrito, ou de outro modo a recta tirada do terceiro vértice para o primeiro ponto de Geergonne. De acordo com a nossa bela enciclopédia italiana, antes referida, que não faz qualquer construção ou desenho e usa notações que só a eles lembrou.
No artigo de ontem, assim ficou. Parecia-me tudo sossegado. Mas, durante a noite, recebi mensagens da Mariana (acompanhada do desenho) e do Aurélio (acompanhada de manifestações de apoio). Como as cevianas são, para efeitos deste blog, aurelianas, declaro-me vencido.
Aqui fica a construção da Mariana com os restantes pontos de Nagel: