Harmonia que se projecta

Se na recta r, C e D separam harmonicamente A e B, (ABCD)=-1, os seus transformados, por projecção de centro O sobre s, são tais que C' e D' separam harmonicamente A' e B'.


[A.dA.M.]
A razão harmónica é invariante por projecção (seja ela paralela, seja central). No caso, pode verificar que a razão harmónica se mantém invariante, quando desloca O (muda o centro da projecção), quando desloca S (faz variar a recta s), e ainda quando deslocar A, B ou C sobre a recta r.

Harmonia que se projecta

Se na recta r, C e D separam harmonicamente os pontos A e B, as imagens por projecção paralela sobre s, C' e D' separam harmonicamente os pontos A' e B'.



[A.dA.M.]
Na construção, pode deslocar os pontos A,B e C sobre r, bem como A' sobre s e mudando de uma para outra projecção paralela. Pode ainda verificar factos de que as harmonias se matem para cada ABC-->D depende de Q e A'B'C'-->D' não depende de T e variando as posições de P pode obter prova de que não depende do destino da projecção paralela.