A curva do ingénuo

Aquela a que chamámos primeira experiência que fez nascer este "blog" não foi a nossa primeira experiência nem sequer a mais fascinante. As nossas descobertas(?), que iremos apresentar por aqui à medida do tempo disponível e das nossas desinibições têm a ver com tentativas de resolução de exercícios clássicos com o computador.
Entre essas redescobertas, uma há que me fez deambular pelos belos livros com belos desenhos de curvas de Gomes Teixeira (Tratados de Curvas), bem como os de Fernando Vasconcelos (que Franco de Oliveira faz bem em lembrar na última Gazeta de Matemática, nº 158, Janeiro de 2005) e que se encontram facilmente na biblioteca da Escola Secundária de José Estêvão onde trabalho e, obviamente, pelo menos nas bibliotecas das escolas da mesma idade.

Ao fazer algumas experiências com o Geometer's SketchPad (GSP- software dinâmico para geometria, Key Curriculum Press), obtivémos uma curva tão simples quanto interessante, a seguir apresentada.

Tomámos um ponto P livre sobre o segmento [AB] e as circunferências, uma de centro em M' - ponto médio de [AP] - passando por A e outra com centro em M'' - ponto médio de [M'B]- passando por B. O lugar geométrico dos pontos de intersecção das duas circunferências é a curva que encontrámos e nos propusémos estudar.

Na altura, escrevemos:

Com este estudo, chamamos a atenção para a potência formativa do conceito de lugar geométrico e para as potencialidades de motivação e descoberta que o uso da tecnologia porporciona. Chamamos ainda a atenção para as diversas sugestões de trabalho que se podem fazer em geometria analítica e cálculo (com manejo de ferramentas de cálculo disponíveis no ensino secundário), com incursões naturais em assuntos de história da matemática e para as diversas possibilidades de iniciar, de forma não artificial, os estudantes na pesquisa de informação com sentido, no estudo das nossas nacionais fontes e na criação de uma identificação dos nossos matemáticos e do nosso património cultural (quantas vezes presente em obras clássicas disponíveis nas escolas). Esperamos ter contribuído para mostrar que não é a introdução do uso da tecnologia no ensino secundário que enfraquece o trabalho com o cálculo ou com quaisquer outros assuntos de abordagem necessária.
Finalmente, pretendemos mostrar que as sugestões didácticas para o ensino da matemática dependem fundamentalmente do domínio de cada um dos conceitos matemáticos que devem ser mergulhados em cultura matemática, como parte do caldo cultural dos cidadãos.
Esperamos ainda ter sugerido um caminho para a realização de projectos, usando tecnologia e criando interesse pela evolução histórica dos conceitos e no contexto dos seus autores.

Nota final:
Se houver alguém com paciência para seguir o texto que então escrevemos sobre a curva do ingénuo e acrescentar, corrigir, propor outras interpretações ou outras abordagens...

Hipérbole (cartesiana)

Tomem-se duas perpendiculares, OX e OY, passando por O, que se toma para origem das coordenadas e seja U(1,0). X é um ponto livre de se mover sobre a recta OU. A construção auxiliar que é visível, de duas concorrentes OC e OX cortadas por duas paralelas XC e UD, em que |XC|=|OU|=1 e |UD|=|OY|, garante que, em valor absoluto, |UD|=|OY|=1:|OX|. O ponto P(x,y) é tal que y=1/x. P percorre uma hipérbole quando X percorre a recta OU.

Tem acesso a uma construção interactiva. Mova X e verifique que P se desloca sobre a hipérbole, aqui construída como o lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que y=1/x.

Recomendamos a leitura do pequeno artigo A geometria analítica de Fermat e de Descartes pp 556 e seguintes da História da Matemática, de Carlos Sá, Fernanda Estrada, João Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa, publicada pela Universidade Aberta, em 2002. Ou, para cheirar também a escrita da época, ver
Descartes; A Geometria.Prometeu. Lisboa:2001

Neste caso da hipérbole, os cálculos do Cinderella para cada vez que deslocamos X (aos deslocamentos em xx correspondem deslocamentos em yy) não costuma apresentar complicações. O mesmo não acontece na parábola, como verificará nas construções em futuros artigos.

Para além do interesse formativo (e histórico) que estas construções têm, deve acrescentar-se que elas servem de esclarecimento aos problemas que a continuidade levanta e às limitações dos programas computacionais para os enfrentar.