Triângulo equilátero, quadrado, hexágono (9 pontos vértices): áreas

Problema:
Consideremos a construção em que

n=0 —	o triângulo equilátero $\;[ABC],$
n=1 —	os quadrados $\; [ADEB],\; [BFGC], \;[CGHA]\;$ e, finalmente,
n=2 —	o hexágono $\;[DEFGHI]$.

Sabendo que $\;AB=a,\;$ determinemos a área de $\;[DEFGHI]\;$ em função de $\;a\;$

---

A seguir, uma construção para acompanhar o estudo (da Mariana? Aurélio?) que os (não?) levará à solução:
@geometrias, 25 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra Já cá chegou a resposta da Mariana. É esta:

Também cá chegou a pergunta: "Porque escreves 12 pontos vértices?" e eu respondo "Não sei" porque só sei que lá deve estar 9 (contei-os, um a um). O maquinista agradece a correcção            para 9.

---

Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

Problema: Quadriláteros convexos; ângulo das diagonais e áreas.

Problema:
Se as diagonais de um quadrilátero convexo formam um ângulo de 30º, a área do quadrilátero é a quarta parte do produto das diagonais. O que acontece quando as diagonais formam ângulo de 60º ou de 45º?

A construção que apresentamos a seguir serve só para ver(ificar) a afirmação inicial.
A pergunta seguinte espera da Mariana e do Aurélio considerações, construções e respostas. :-)

@geometrias, 21 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra

Da Mariana Sacchetti veio resposta imediata (que verá melhor clicando sobre cada uma das páginas de Mariana):

---

Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964