Problema: Triângulos. Áreas. Equivalência

Problema:
Por um ponto $\;D\;$ tomado sobre o lado $\;BC\;$ de um triângulo $\;Δ[ABC],\;$ tiram-se paralelas $\;DF\;$ e $\;DE\;$ aos lados $\;AB\;$ e $\;AC\;$ respetivamente.
Demonstra-se que os triângulos $\;Δ[CDE]\;$ e $\;Δ[BDF]\;$ são equivalentes.

E a figura dinâmica que se segue serve-nos bem como conjectura? Pode fazer variar os vértices do triângulo $\;Δ[ABC]\;$ e as posições de $\;D\;$......

@geometrias, 16 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra

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Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

Problema:Triângulo(s). Áreas. Meio Proporcional

Problema: Seja $\;H\;$ o ortocentro do triângulo $\;\Delta[ABC]:\;$ o círculo de diâmetro $\;BC\;$ corta $\;AH\;$ em $\;D\;$.
Demonstra-se que a área do triângulo $\;\Delta[BCD]\;$ é o meio proporcional entre as áreas dos triângulos $\;\Delta [BCH]\;$ e $\;\Delta [BCA]\;$.

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A ilustração dinâmica que se segue serve-nos bem como conjectura.
Construções com Geogebra

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Notamos que:
a)       $\;x\;$ é o meio proporcional de $\;a \;\mbox{e}\; b\;$ se e só se $\;\frac{ a}{x}\;=\; \frac{x}{b}\;$
b)        Nas condições da figura, $\;BC\;$ é um lado dos três triângulos $\;\Delta[ABC],\; \Delta[CDB]\; e \; \Delta[BAC]\;$ ou seja é
             base comum desses três triângulos.
              E as alturas relativas a $\;BC\;$ dos três triângulos são segmentos da reta $\;HAH_aD.\;$ ....

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Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964