as relações entre os raios de quatro círculos mutuamente tangentes.

Segundo Coxeter*:
em carta de novembro de 1643 à princesa Isabel da Boémia, René Descartes desenvolveu uma fórmula relacionando os raios de quatro círculos tangentes mútuos

e nós esperamos que todos façam algo parecido por quem precise de uma carta qualquer.

A seguir deixamos uma ilustração como aquela que acompanha essa referência de Coxeter.

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* H.S.M. Coxeter. Introduction to Geometry John Wiley & sons, inc.

Os centros de dois círculos bem separados formam um quarteto harmónico com os centros das duas homotetias entre eles...

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Em várias épocas (2010 e 2012 principalmente) foram estudados os temas que agora aqui são levantados. Construções então feitas (Cabri, ZuL (CaR ou ReC), GSP - Geometer´s Sketchpad, Poly, Descartes, Cinderella, Modellus, e ... também o GeoGebra (foram sendo web-depreciados bem assim como os applets, etc) deixaram de estar visíveis. Estamos tentados a reconstruir essas construções (ilustrações de conceitos e etapas de resolução de problemas e verificações de resultados. Vai demorar algum tempo. Aqui se mostram, ao fundo, alguns conceitos e problemas cujas ilustrações esperam restauração. Lá iremos.

1. São dados dois círculos (A) e (B) de centros A e B sem qualquer ponto em comum.
2. Determina-se o ponto O de intersecção das duas tangentes externas comuns aos dois círculos (A) e (B)
3. e, de modo análogo se determina o ponto I de intersecção das tangentes internas comuns aos círculos (A) e (B).
4. Tome-se um ponto C qualquer exterior à recta IO e, um ponto D livre sobre o segmento AC
5. Para cada C, para além do segmento de recta AC, também estão bem definidos os segmentos CO e CI e, para cada D de AC, ficam definidas as rectas
   • DI e o seu ponto E de intersecção com CO;
   • OD e o seu ponto F de intersecção com IC;
   • e fica assim determinada a 6ª reta EF interessante de um quadrilátero completo: de vértices C,E,D,F só colineares dois a dois, sendo os lados as retas OC(CE),EI(ED),IC(CF), FO(FD) e as diagonais CD e EF
6. Essa última recta (diagonal EF) passa por B, quaisquer que sejam as posições de C e D (que pode deslocar na ilustração) e quaisquer que sejam as posições e tamanhos das circunferências (A) e (B) desde que separadas

Nota: Quaisquer duas circunferências são homotéticas. Uma homotetia que transforma o círculo de centro A no círculo de centro B tem razão em valor absoluto igual ao quociente dos raios e transformam A em B só pode ter o seu centro sobre a recta AB. Por isso, no caso em estudo, O,A,I,B são colineares ( r_(B) OA = r_(A) OB e r_(B) IA = r_(A) IB)

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Geometry with Computers. Computer-Based Techniques to Learn and Teach Euclidean Geometry. Tom Davis. Draft Date: May 17, 2006