Os flancos de um triângulo são equivalentes

A figura que se apresenta a seguir foi construída assim:

1. a partir de um triângulo [ABC] de lados a=BC, b=CA e c=AB,
2. construiram-se quadrados - a², b² e c² - sobre os seus lados, a saber: a -> [BA_bA_cC], b -> [CB_cB_aA] e c -> [AC_aC_bB] e finalmente
3. os triângulos [AB_aC_b], [BC_bA_b], [CA_cB_c] a que chamamos flancos de [ABC]

Com recurso a transformações geométricas, prova-se que são equivalentes os triângulos [AB_aC_b], [BC_bA_b], [CA_cB_c] e [ABC].

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Floor van Lamoen, Friendship Among Triangle Centers. Forum Geometricorum (Volume 1 (2001) 1-6), Editor: Paul Yiu.

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Nota:
Uma rotação de 90° em torno de A faz corresponder a [AA_bA_c], flanco-A de [ABC], um triângulo [AA'_bA'_c] tal que

• A,A'_b,C são colineares sendo |AA'_b|=|AC|, ou seja, A é o ponto médio do segmento [A'_bC]
• e A'_c coincide com B

e, por isso, [BA] é uma mediana do triângulo [BA'_bC] e os triângulos [A'_bBA] e [ABC]têm igual área ou são equivalentes.

Recuperação: ouro, inversão e harmonia

Em 2010 apresentávamos 3 construções em CaR ou ZuL (Compasso e Régua ou Zirkel und Lineal, R. Grothmann):

• a primeira para lembrar que, para um dado segmento de reta AB, um dos seus pontos M (e um só) o divide em média e extrema razão, a saber, tal que AB/AM=AM/MB, (....Φ) ;
• a segunda a lembrar que, sendo M' o inverso de M relativamente à circunferência de centro em A e raio AB, as razões AB/AM e AM'/AB são iguais já que tomando AB para unidade, AM é o inverso de AM';
• e finalmente que se tomarmos B' como extremo oposto a B do diâmetro de (A, AB) - a meia volta de B em torno de A - temos um quaterno harmónico de pontos (sobre a reta AB), a saber (B', B; M, M').

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Restauração:
Limitámo-nos a substituir essas três construções por uma só que se divide em 5 passos para evidenciar os aspectos essenciais acima referidos.

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