GEOMETRIA

1.10.19

Travamo-nos de razões de áreas em dois triângulos com um ângulo em comum

Tomamos 2 retas concorrentes - a,b - quaisquer - e chamamos A ao seu ponto de intersecção. No caso da nossa ilustração essas retas são a=AB e b=AC, i.e, pode fazer-se variar as retas por qualquer deslocação de algum desses pontos A, B ou C. Tomamos ainda dois pontos D, E que podem deslocar-se livremente um em a e o outro em b: a=AD e b=AE
Consideramos os triângulos ABC e ADE com um vértice A comum e, nas condições descritas, com BÂC = DÂE.

Se deslocar qualquer dos pontos B,C,A,D,E obterá novos triângulos e verá que a ilustração leva-nos a conjecturar que a razão das áreas dos triângulos ΔABC e ΔADE assim definidos é igual à razão dos produtos dos dois lados de extremo A de cada um desses triângulos |AB|.|AC| de ΔABC e |AD|.|AE| de ΔADE, ou seja,
    Área de ΔABC                |AB|.|AC|
      ------------------     =     -----------------
    Área de ΔADE                |AD|.|AE|

Pode provar esse resultado?
e encontrar vários enunciados diferentes para apresentar problemas equivalentes a este?

Given two triangles having one vertex A in common, the other vertices being situated on two straight lines passing through A. Prove that the ratio of the areas of these triangles is equal to the ratio of the products of the two sides of each triangle emanating from the vertex A.

in I.F. Sharygin. Problems in Plane Geometry. col. Science for Everyone. MIR. Moscow:1988

12.9.19

continuar a restaurar as construções para a vida do visível e andar em linha

Ando a arrumar papéis e num deles dei de caras com o seguinte e eterno problema: muitos dos papéis (deteriorados) vão para reciclagem e neles há enunciados impressos que não queremos perder.
Por exemplo:

1.
Numa linha desenhámos vários pontos vermelhos. Entre cada par dos pontos vermelhos desenhámos um ponto verde. E entre cada ponto verde e cada ponto vermelho desenhámos um ponto azul. No final, contámos um total 85 pontos. Quantos pontos vermelhos desenhámos?
2.
Um turista realizou um percurso em 4 dias. No primeiro dia ele fez 20% de todo o percurso mais 2km. No segundo dia ele fez 50% do resto do percurso mais 1km. No terceiro dia realizou 25% da restante parte do percurso mais 3km. No quarto e último dia percorreu os 18km do percurso. Quantos km percorreu o turista na sua caminhada?

O que fazer?