GEOMETRIA

24.1.19

Interseção de duas retas, usando só o compasso

Nesta entrada realizamos uma construção dinâmica adequada ao problema de

Dados os pontos

$\;A, \;B, \;C,\;D\;$ determinar os pontos de intersecção das rectas

$\;AB\;$ e

$\;CD$ recorrendo unicamente ao compasso moderno

(ou seja com circunferências - cada uma determinada por centro dado ou pré-determinado e a passar por um ponto dado ou pré-determinado ou com um raio determinado por dois pontos pré-determinados)

$\fbox{2}\;:\;$ Determinamos o ponto

$\;C':\;C'A=CA \wedge C'B=CB, \;$ ou seja, um ponto de

$\; (A,\;C).(C,\;B) =\{C,\; C'\}.\;$

$\;AB\;$ é a mediatriz de

$\;CC'\;$
De modo análogo de determina

$\;D':\;D'A=DA \wedge D'B=DB\;$

$\fbox{3}\;:\;$ As circunferências

$\;(C,\; \overline{DD'})\;$ e

$\;(D', \;\overline{CD})\;$ intersectam-se em dois pontos sendo um deles colinear com os pontos

$\;C,\;C'\;$
As circunferências

$\;(C', \:G)\;$ e

$\;(G, \;D')\;$ intersectam-se em dois pontos, sendo um deles

$\;E\;$

$\fbox{4}\;:\;$ E as circunferências

$\;(C', \;C)\;$ e

$\;(G, \;\overline{CE})\;$ intersectam-se em dois pontos, um dos quais é

$\;F\;$ colinear com

$\;E\;$ e

$\;C'.\;$

$\fbox{5}\;:\;$ Finalmente: as circunferências

$\;(G, \;F)\;$ e

$\;(C', \;\overline{CF})\;$ intersectam-se em dois pontos equidistantes de

$\;C\;$ e

$\;C'\;$ , ou seja, da mediatriz de

$\;[CC']\;$ que como já vimos é a recta

$\;AB. \;$
Um desses pontos é

$\;X\;$ colinear com

$\;C\;$ e

$\;D\;$ ou seja incidente em

$\;[CD]\;$ e, em consequência, ponto de intersecção de

$\;AB\;$ com

$\;CD\;$

$\fbox{6}\;:\;$ Caso lhe interesse pode agora ver as rectas e as colinearidades escolhidas menos óbvias.

$\;CC' \perp AB ,\; DD' \perp AB,\; CC' \parallel DD', \; CD' = C'D,\; [CD'DC']\;$ é um trapézio isósceles cujas diagonais

$\;CD\;$ e

$\;C'D'\;$ são iguais em comprimento e intersectam

$\;AB\;$ no ponto em que se intersectam

$\;DC\;$ com

$\;C'D'\; \rightarrow X.$

seguindo as indicações de
Howard Eves. Fundamentals of Moderno Elementary Geometry.Jones and Bartlett Publishers. Boston:1992.

15.1.19

Intersecção de uma recta AB com uma circunferência C(D) (C em AB, recurso a compasso só)

Vamos retomar o problema da entrada anterior no caso em que

$\;C \in AB\;$ . Ou seja:
Usando só o compasso moderno, vamos realizar uma construção dinâmica adequada ao problema de

determinar os pontos de intersecção de uma reta que passa por dois pontos dados

$\;A, \; B\;$ com uma circunferência de que são dados o centro

$\;C,\;$ incidente em

$\;AB,\;$ e um dos seus pontos

$\;D.\;$

$\;\fbox{1}:\;$ Dados

$\;A, \;B$ da recta a que também pertence

$\;C\;$ centro de uma circunferência que passa por

$\;D\;$ dados.

$\;\fbox{2}:\;$ Com compasso desenhamos as circunferências

$\;(C,\;D)\;$ e

$\;(A,\;D)\;$ que se intersectam em

$\;D, \;E. \;$
Como

$\;\overline{AD}=\overline{AE},\;\; A\;$ é um ponto da mediatriz de

$\;[DE].\;$
Como

$\;D\;$ e

$\;E\;$ também estão na mesma circunferência de centro

$\;C, \;$ este também é um ponto da mediatriz de

$\;[DE].\;$ Se os 3 pontos

$\;A, \;B, \;C\;$ são colineares, podemos concluir que AB é a mediatriz de

$\;[DE].\;$

$\;\fbox{3}:\;$ Com o compasso, construímos as circunferências

uma de centro $\;C\;$ e raio $\; \overline{DE}\;$ e
outra de centro $\;E\;$ e raio $\overline{CD}\;$

e guardemos o ponto

$\;G\;$ da intersecção das duas, quarto vértice de

$\;[DCEG]\;$

$\;\fbox{4}:\;$ Simetricamente guardemos o ponto

$\;F\;$ da intersecção

$\;(C, \;\overline{DE}).(D,\; \overline{DC}),\;$ quarto vértice de

$\;[DCEF]\;$

$\;\fbox{5}:\;$ As circunferências

$\;(F, \; \overline{FE})\;$ e

$\; (G, \; \overline{GD})\;$ intersectam-se em dois pontos, um deles

$\;H,\;$ assinalado na figura.

$\;\fbox{6}:\;$ Finalmente

$\;(F, \; \overline{CH}).(C,\; \overline{CD}) =\{J,\; K \}\;$ ou

$\; =(G, \; \overline{CH}).(C,\; \overline{CD})\;$ dão-nos os pontos da intersecção

$\;AB . (C, \overline{CD})\;$