Compasso moderno: Intersecção de uma circunferência com uma recta.

Voltamos a problemas de construção para serem resolvidos com ferramentas previamente definidas.
Quatro pontos $\;A,\; B, \;C, \;D\;$ chegam para definir uma reta $\;AB\;$ por exemplo, e uma circunferência de centro $\;C\;$ que passa por $\;D.\;$
O enunciado do problema desta entrada, é, considerando que o centro $\;C\;$ da circunferência não incide na recta $\;AB,\;$ o seguinte:

determinar os pontos de intersecção da reta $\;AB\;$ com a circunferência $\;(C,\; \overline{CD}),\;$ usando só o compasso moderno.

Clicando nos botões da barra ao fundo do rectângulo de visualização:
$\;\fbox{2}\;:\;$ Determinamos o ponto $\;E\;$ tal que $$\;\overline{AC}= \overline{AE} \wedge \overline{BC}= \overline{BE}$$ ou seja que é a intersecção $\; (A,\; \overline{AC}).(B, \;\overline{BC}).$
$\; \fbox{3}\;:\;$ Os pontos $\;F\;$ e $\;G\;$ obtidos como intersecção de $\;(C, \;\overline{CD})\;$ com $\;(E, \;\overline{CD})\;$ são pontos equidistantes de $\;C\;$ e de $\;E :\;$ e são pontos da mediatriz de $\;[CE]\;$
$\; \fbox{4}\;:\;$ Como já tínhamos visto em $\;\fbox{2}\;:\;$ também $\;E, \;C\;$ estão à mesma distância de $\;A\;$ por estarem na circunferência de centro $\;A\;$ e raio $\;\overline{AC},\;$ ou seja $\;A\;$ é um ponto da mediatriz de $\;[CE].\;$ E, por igual razão, $\;B\;$ também é um ponto dessa mediatriz.
Concluindo: $\;F\;$ e $\;G\;$ são colineares com $\;A\;$ e $\;B\;$ e simultaneamente são pontos da circunferência $\;(C, \overline{CD})\;$
Este processo só resolve o problema se $\;C\;$ - o centro da circunferência - não estiver na reta $\;AB\;$ ou seja, não for colinear com $\;A, \;B. \;$

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Howard Eves. Fundamentals of Moderno Elementary Geometry.Jones and Bartlett Publishers. Boston:1992.

Hipocicloides - exemplos de 1 a 10

A construção dinâmica, que ora mostramos, apresenta casos em se consideram circunferências (A,r) de raios 1 a 10 (escolher valor na caixa ao centro) e uma outra circunferência (C,1) de raio 1 que roda em torno de A tangencial interiormente à primeira (A,r).

1. Os pontos de tangência das circunferências (A,r) e (C,r) à partida vão sendo os pontos que assumem posições D sobre (A,r) e (E,1) por rotações da posição $\;B\;$ e de (C,1) em torno de A de ângulo de amplitude $\;\alpha \;$ (dos ângulos BÂD ou DÂB). O arco BD de (A,r) correspondente a BÂD percorrido mede r$\alpha.\;$ De C a E a distância percorrida é (r-1)$\alpha.$
2. Considerando B a posição de um ponto fixado em (C,1), se não há lugar a arrastamento (ou deslizamento), quando (C,1) tiver ocupado a posição (E,1), o ponto fixado nesta circunferência que rola, estará a ocupar uma posição sobre (E,1) tal que o arco correspondente tenha comprimento igual a r$\alpha\;$ do arco BD em (A,r), ou seja, uma posição F (ou G) obtida por rotação de D em torno de E segundo ângulo r$\alpha \;$ (ou G segundo -r$\alpha\;$).
3. Os lugares geométricos de F e G para cada raio e dependentes de $\; \alpha\;$ são apresentados automaticamente, mas podem ser confirmados pela sua deslocação com a variação de $\;\alpha\;$ que pode ser obtida pelos botões ao fundo à esquerda.