A pensar que não são precisas quaisquer explicações, aqui fica um pacote de pares de circunferências em que cada uma das circunferências $\;(C,\;s)\;$ rola tangencialmente a $\;(A, \;r)\;$ sendo $$\; 1.5\leq r \leq 4.5\; \wedge s= \frac{5-r}{2}\;$$
Façam o que fizerem, lembrem-se que esta publicação é para lembrar que entrámos em época festiva.
Notas para quem decidiu não procurar as explicações nas entradas anteriores.
Nesta entrada, apresentamos uma ilustração dinâmica que junta vários pares de circunferências em que uma delas de raio $\;s\;$ rola, sem deslizar, tangencialmente pelo exterior de outra de raio $\;r.\;$ Para além da variável $\;\alpha \in ] 0, 60\pi[\;$ relacionada com as rotações ds circunferência $\;(C,\;s)\;$ em torno de $\;A\;$ tangencialmente a $\;(A, \;r) \;$ com $\;r \in[1.5, 4.5]\;$ e $\;s=\frac{5-r}{2}.\;$ Tomamos um ponto fixo de $\;(C,\;s)\;$ que inicialmente se encontra na posição $\;B\;$ de ponto de tangência das duas circunferências. Pelas entradas anteriores, já sabemos que quando à circunferência $\;(C,\;s)\;$ é aplicada uma rotação de um ângulo $\;alpha\;$ em torno de $\;A,\;$ ela passa a uma nova posição $\;(C', \;s)\;$ sendo então o ponto de tangência $\;T\;$ tal que o ângulo $\;B\hat{A}T = \alpha\;$ e o ponto $\;B\;$, que nesta nova posição $\;(C',\;s)\;$ da mesmma circunferência - chamemos-lhe $\;T'\;$ - será tal que o comprimento do arco $\;TT'\;$ de $\;(C, \;s)\;$ terá comprimento igual ao arco $\;BT\;$ de $\;(A,\; r), \;$ ou seja, o ângulo $\;T\hat{C'}T' -\;$ chamemos-lhe $\;\beta \;- \;$ será tal que $\;s \beta = r\alpha \;$.
Como sabemos que, em qualquer par das nossas circunferências, $$\;s= \displaystyle \frac{5-r}{2}, \;\mbox{então}\; T\hat{C'}T'= \beta = \frac{2r\alpha}{5-r}.\;$$
Os botões abaixo, servem para fazer variar
- $\;\alpha \;$ e, em consequência, $\;\beta\;$
- $\;r\;$ e, em consequência, $\;s\;$
Para cada valor de $\;r\;$, ao animar $\;alpha\;$, obtemos a epiciclóide relativa, isto é, o lugar geométrico das posições do ponto $\;B\;$ quando a circunferência $\;(C,\;s)\;$ rola em torno de $\;A\;$ tangencialmente a $\;(A, \;r).\;$ Pode parar em qualquer momento e fazer voltar ao valor zero de $\;\alpha\;$ e, querendo ocultar os traços de $\;T'\;$, terá de clicar no botão de reiniciar presente à direita alta do écran.
Ao variar $\;r,\;$ obtém pares de circunferências tangentes de vários raios e pode observar as variações dos epiciclóides, recorrendo ao botão dos LG$T'(r,\;\alpha)\;$ (lugares geométricos). No caso, a variação de $\;r\;$ é acompanhada da variação de $\;r/s\;$ (limitadas sempre a serem razões entre números naturais) que permite observar a relação desta razão com a epiciclóide... com o tipo de corola....
Se mantivermos a imagem inicial ou num fixado valor de $\;\alpha,\;$ ao fazer variar $\;r\;$ e consequentes epiciclóides, obtemos o traço de $\;T'\;$ de um epiciclóide para outro $\;T'(r).\;$ Para um fixado valor de $\;r\;$ ao fazer variar $\; \alpha\;$ o traço de $\;T'\;$ é uma sucessão de pontos de um dado epiciclóide.
Fazer variar tudo ao mesmo tempo, mostrando os lugares geométricos todos, é
