Vamos nesta entrada prosseguir o trabalho iniciado nas entradas anteriores, construindo o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma circunferência \;(O, \; r)\; e de uma reta\;a\; que a interseta.
Na nossa construção,
\;\; \fbox{n=1}:\;\; é dada a circunferência \;(O, \; r)\; e uma reta \;a\; que a interseta em \;B, \;C\;.
Fazendo variar os valor de \;n\; no cursor \;\fbox{n=}\;, pode seguir os passos da resolução do problema de construção do lugar geométrico dos pontos equidistantes de \;a\; e de \;(O, \;r).\; Usando os pontos \;A \; e \;T\; pode variar a posição da reta \;a\;
\;\; \fbox{n=2}:\;\; A reta definida por \;A\, e \;O\; interseta a circunferência no ponto \;T\; que é o ponto da circunferência mais próximo de \;a.\; A distância de \;a\; à circunferência é, pois, \;AT= r-AO\; e o ponto médio do segmento \;AT\; é equidistante de \;a\; e de \;(O, \;r)\; e, por isso, é um ponto do lugar geométrico que procuramos. Para determinar outros pontos \;Q\; equidistantes de \;a\; e de \;(O, \;r)\; tomamos um ponto \;D\; variável da circunferência e a tangente em \;D\; perpendicular a \;DA\; que contém os segmentos de reta cujos comprimentos são distâncias de pontos à circunferência. Os pontos \;Q\; equidistantes da circunferência e da reta encontram-se como interseções de \;a\; com as bissetrizes dos ângulos \;D\hat{G}A\; das tangentes nos ponto \;D\; com a reta \;\;a\;.
© geometrias, 11 de Dezembro de 2014, Criado com GeoGebra
\;\; \fbox{n=3}:\;\; Quando o ponto \;D\; percorre o arco \;BTC\; da circunferência, os pontos \;Q\; do semiplano determinado pela reta \;a\; e pelo ponto \;T\; percorrem um arco de parábola de foco \;O\; e diretriz \;d_1\; determinada de modo análogo ao usado na entrada anterior.
\;\; \fbox{n=4}:\;\; Para determinar outros pontos \;P\; equidistantes de \;a\; e da circunferência, procedemos de modo inteiramente análogo usando um ponto \;E\; do arco \;CEB\; da circunferência no outro dos semi-planos definidos pela reta \;a\; .
\;\; \fbox{n=5}:\;\; E de modo análogo, vimos que quando \;E\; percorre o arco da circunferência, \;P\; percorre um arco de parábola de foco \;O\; e diretriz \,d_2\;
Claro que estas duas parábolas (que se intersetam nos pontos \;B, \;C\; e em que a reta \;a\; interseta \;(O, \;r)\; de que apresentámos um arco de cada) constituem o lugar geométrico dos pontos equidistantes da circunferência e da reta \;a\; que a intersete em dois pontos distintos. Separámos os arcos para \;D\; e \;E\; para simplificar a figura.
\;\; \fbox{n=6}:\;\; Poderá verificar o que atrás afirmamos seguindo a animação de um ponto \;M\; que percorre a circunferência, para o qual se determinam pontos das duas bissetrizes do ângulo formado pela tangente em \;M\;, perpendicular a \;OM,\; e a reta \;a\;. Para cada ponto \;M\; estão determinados sobre essas bissetrizes dois pontos equidistantes de \;a\; e de \;(O, \;r)\;. Estes pontos estão sobre as duas parábolas referidas.
Deslocando \;A\; até que este coincida com \;T\; pode ver que o lugar geométrico é formado por uma reta que passa por \;O\; pelo ponto de tangência da reta com a circunferência e por uma parábola
Se a reta \;a\; passa por \;O\; o lugar geométrico é constituído por duas parábolas que se intersetam nos extremos de um diâmetro da circunferência.
