Lista de problemas… já resolvidos, usando transformações

Por várias vezes, apresentámos exemplos de problemas de construção que se resolviam com o recurso às transformações e suas propriedades.
Aqui fica uma lista de enunciados de alguns problemas de construção resolvidos com transformações (de 2009/2010). Se houver algum problema no carregamento das construções (java…), basta avisar os construtores que eles resolvem.

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10.11.09 Problemas usando reflexões -1-:
Tomamos uma recta r e dois pontos P e Q de um dos semi-planos determinados por r. Como determinar o ponto N de r, tal que |PN|+|NQ| seja mínimo?
16.11.09 Problema usando reflexões:
De entre todos os triângulos com um dada base e altura a ela relativa, determinar qual deles tem perímetro mínimo.
18.11.09 Problema usando translações
Dados dois pontos P e Q, diferentes, situados entre duas rectas r e s. Qual o caminho mais curto, passando por cada uma das rectas r e s, e ligando P a Q?
20.11.09 Problema usando rotações
Tomem-se três rectas paralelas a, b e c (quaisquer). Determinar um triângulo equilátero ABC que tenha A sobre a, B sobre b e C sobre c.
22.11.09 Problema usando translações e reflexões:
Dadas duas rectas a e b, determinar a circunferência de raio dado que é tangente às duas rectas dadas.
5.12.09 Usando translações:
Construir um quadrilátero de que são dados os comprimentos dos lados e o comprimento de um segmento que une os pontos médios de dois dos lados opostos
5.12.09 Das medianas ao triângulo, com translações
Construir um triângulo de que se conhecem as medianas.
5.12.09 Puig Adam - método das transformações para resolução de problemas
23.12.09 Usando reflexões: Construir um quadrilátero de que são dados os comprimentos dos lados e o comprimento de um segmento que une os pontos médios de dois dos lados opostos
28.12.09 Usando reflexões (II):
Construir um triângulo de que se conhecem dois lados BC e AC e a diferença dos ãngulos a eles opostos é um problema que se resolve se nos lembrarmos que a mediatriz do lado AB em falta é eixo de uma reflexão que leva de A para B
29.12.09 Usando rotações
Dadas duas rectas a e b e um ponto P não incidente em qualquer delas, determinar um quadrado com vértice em P e sobre cada recta a e b um dos dois vértices adjacentes a P
Sugestão do mesmo processo para resolver

1. Determinar um triângulo com os três vértices sobre três paralelas dadas (já resolvido numa das entradas) ou sobre três circunferências concêntricas
2. Inscrever um triângulo equilátero num quadrado de modo que tenham um vértice em comum
3. Inscrever num paralelogramo um rectângulo cujas diagonais façam um dado ângulo

2.1.10 Usando homotetias(I)
Inscrever num triângulo ABC um quadrado que tenha um dos lados sobre o lado maior do triângulo
12.1.10 Ainda usando rotações - Geometria
Determinar um triângulo equilátero com os vértices sobre circunferências concêntricas
30.1.10 Um problema e duas resoluções - a reflexão
Tirar por um ponto A dado, um segmento de comprimento igual a outro BC dado

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Nas próximas entradas vamos enunciar e resolver problemas de construção geométrica propostos por Howard Eves (em Fundamentals of Modern Geometry) para usar o que ele chama método das transformações (como o fez Puig Adam, etc)

Lista de transformações geométricas do plano para usar

A transformação geométrica do plano a que chamámos identidade $$\begin{matrix} &id&\\ P& \longmapsto &P \end{matrix} $$ para a qual cada ponto do plano é imagem (correspondente) de si mesmo não só transforma o conjunto dos pontos do plano em si mesmo, como acontece com todas as transformações geométricas, como deixa invariantes (todos e) cada um dos pontos do plano. Por isso se diz que a identidade é neutra (o elemento neutro) para a operação produto de transformações geométricas do plano.
A identidade no conjunto dos pontos do plano é uma transformação geométrica que preserva todas as propriedades de quaisquer figuras do plano (consideradas como subconjuntos de pontos do plano): congruência de comprimentos de segmentos e amplitudes de ângulos, direção de retas ou paralelismo, perpendicularidade, orientação de polígonos e sentido de cada segmento orientado e de cada ângulo orientado, estar entre, ....

Outras transformações geométricas do plano conhecidas

Para além da identidade, há transformações geométricas do plano que dispensam apresentação. Para efeito da resolução de problemas de construção interessa saber bem as suas definições, mas principalmente que pontos são fixos para cada uma delas, quais as propriedades que cada uma delas preserva ou não preserva, como se relacionam entre elas, etc.
Faremos uma referência breve a cada uma das transformações de semelhança que incluem as isometrias (pontos 1 e 2). Acrescentaremos mais informação sempre que a resolução de algum problema de construção tal justifique.

1. Tomemos uma reta $e$. À transformação geométrica $\cal{E_e}$ $$\begin{matrix} &\cal{E_e}&\\ P& \longmapsto &Q \end{matrix} $$ sendo $e$ a mediatriz de $PQ$ e $P=Q$ quando e só quando $P\in e$, chamamos reflexão de eixo $e$.
   
   • Pela reflexão de eixo $e$, cada um dos pontos de $e$ corresponde a si mesmo ou mantém-se invariante ou fixo (mantém uma infinidade de pontos fixos).
     Obviamente que, por $\cal{E_e}$, se mantém fixa a reta $e$. Mas para além do eixo, mantêm-se fixas todas as retas $p$ perpendiculares a $e$, de cada uma das quais só o ponto $p.e$ se corresponde a si mesmo. Mantém fixa uma infinidade de retas.
   • Como sabemos, uma reflexão
     • preserva o comprimento dos segmentos, no sentido de que o segmento correspondente a um segmento dado tem o mesmo comprimento
     • preserva a amplitude dos ângulos
     • não preserva nem a orientação de polígonos nem o paralelismo
   • O conjunto das reflexões munido da composição não é um grupo, isto é, não é um subgrupo do grupo das transformações geométricas.
2. Prova-se que
   • uma reflexão é inversa de si mesma, ou seja, se $\cal{E}_e$ é uma reflexão de eixo $e$, para qualquer ponto $P$ do plano, $\cal{E}_e \circ \cal{E}_e (P) = \cal{E}_e(\cal{E}_e(P)) =P $ que é o mesmo que $\cal{E}_e^2 = \cal{I}$ em que $\cal{I}$ designa a transformação geométrica identidade no plano
   • a composta ou produto de duas reflexões de eixos $e_1, \; e_2$ concorrentes é uma rotação de centro no ponto $e_1 . e_2$ e ângulo de amplitude $2(\hat{e_1, e_2})$
     • a composta de duas reflexões de eixos perpendiculares é uma rotação de meia volta em torno do ponto de interseção dos eixos
     • uma rotação mantém um ponto fixo (centro) e nenhuma reta fixa, preserva orientações, amplitudes e comprimentos, não preserva o paralelismo.
     • a composta de duas rotações é uma rotação
   • a composta de duas reflexões de eixos paralelos é uma translação segundo um vetor perpendicular aos eixos de reflexão e de comprimento duplo da distância entre os eixos de reflexão
     • a translação preserva comprimentos, direções, orientações, sentido, amplitudes, não mantendo qualquer ponto fixo, mas mantendo fixa a infinidade das retas paralelas ao vetor definidor ou perpendiculares aos eixos das reflexões que a compõem.
     • a composta de translações é uma translação
   • o produto de uma meia volta de centro $O$ com uma reflexão de eixo $e$ é
     • uma reflexão de eixo perpendicular a $e$ tirada por $O$, quando $O \in e $ e,
     • quando $O \notin e$, uma translação (se meia volta seguida de reflexão), e reflexão deslizante (se reflexão seguida de meia volta)
     • O produto de três reflexões de eixos concorrentes num ponto ou paralelos entre si é uma reflexão
   • O produto de três reflexões cujos eixos não são nem concorrentes num ponto nem paralelos entre si é uma reflexão deslizante (composta de uma translação com uma reflexão ou de uma rotação com uma reflexão) que não preserva a orientação e sem manter um único ponto fixo, mantém uma reta fixa.
3. O connjunto das isometrias - translações, rotações, refelexões, reflexões deslizantes - munido da composição de transformações é um grupo.
4. Dados um ponto $O$ e um real $k\neq 0$, chamamos homotetia ou dilação de centro $O$ e razão $k$ à correspondência assim definida: $$\begin{matrix} &\cal{H} (O,k)&&\\ \;\;\;\;\;\;\;\;O&\longmapsto& O &\\ P \neq O, \;\;\;P&\longmapsto&P':& P'\in OP \wedge \displaystyle \frac{\overrightarrow{OP'}} {\overrightarrow{OP}} =k \end{matrix} $$
   • $\cal{H} (O, 1) $ é a identidade e
   • $\cal{H} (O, -1) $ é a meia volta de centro $O$
   • $\cal{H} (O, k) \circ \cal{H} (O, k^{-1}) = \cal{H} (O, k^{-1}) \circ \cal{H} (O, k) = \cal{I}$
   • a homotetia mantém um ponto fixo (centro) e a infinidade de retas que passam pelo centro, preserva a orientação de polígonos, o paralelismo e a amplitude de ângulos e
     • para $k>0$ preserva o sentido
     • para $k<0$ troca o sentido
5. Considera-se também uma transformação geométrica que resulta do produto (ou composição): uma homotetia seguida de uma rotação centradas no mesmo ponto (ou que é o mesmo: uma rotação seguida de uma homotetia) a que Eduardo Veloso chama semelhança em espiral ou dilação rotativa
6. E ainda o denominado alongamento, transformação geométrica do plano assim definida: Dada uma reta $r$ e um real $k$, define-se a correspondência $$\begin{matrix} P \in r , \; \;\;\;& P& \longmapsto& P& \\ P \notin r , \; \;\;\;& P&\longmapsto & P': &\; \;\;\; P'\in p \;\;\; (p \perp r \wedge P \in p) \wedge \displaystyle \frac{\overrightarrow{O_pP'}}{\overrightarrow{O_pP}} =k, \;\;\; O_p= r.p \end{matrix} $$
7. O conjunto das transformações de semelhança - isometrias e homotetias - referidas munido da composição de transformações é um grupo.
8. Finalmente termos de referir a inversão (ou reflexão) relativamente a uma circunferência de centro $O$ e raio $r>0$ como correspondência biunívoca do conjunto de pontos do plano, à exceção de $O$, assim definida: \begin{matrix} & \cal{I} (O, r^2)&&\\ P\neq O, \;\;\; P &\longmapsto &P' : &\;\;\; P'\in OP \wedge OP\times OP' = r^2\end{matrix} Claro que a correspondência biunívoca assim definida não é uma transformação geométrica do plano, já que não há qualquer ponto $P$ para o qual $OO\times OP = r^2 $. Para podermos tomar a inversão como transformação geométrica adicionamos aos pontos do plano um único e convencionado ponto ideal, $Z$, para imagem de $O$ por $\cal{I} (O; r^2)$.
   Consideramos que esse ponto ideal (no infinito) incide em todas as retas do plano e chamámos ao plano ampliado deste modo, plano inversivo.
   Em 2013, demos muitos exemplos de problemas de construção que mostram a importância da inversão para resolver problemas de construção geométrica.