Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção

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Problema: Construir um triângulo $\;ABC\;$ de que são dados o lado $\: ;AB\;$, o ângulo $\;\gamma \;$ oposto ao lado dado e a diferença $k^2$ dos quadrados dos lados $AC$ e $BC$

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema de construção..
1.
Temos inicialmente dois pontos $\;A,\;B\;$ um ângulo $\;\gamma\;$ e $\;k$, sendo $\;k^2 = AC^2 - BC^2 $ . Na nossa figura apoiamo-nos numa construção auxiliar sobre $\;k\;$ dado, em que tomamos $A_0$ e $B_0$ como extremos do segmento $\; k\;$ e $\;P_0;$ como vértice de um triângulo retângulo de que é dado o cateto $\;A_0B_0 =k\;$: $\;k^2 + A_0P_0^2 = B_0P_0^2\;$
2.
O triângulo fica construído se determinarmos um ponto $\;C\;$, vértice oposto a $\;AB\;$ tal que:

1. $\;\angle\;A\hat{C} B = \gamma$
   • isto é, do lugar geométrico dos pontos $P$ do qual as retas tiradas para os extremos de um segmento $\;AB\;$ formam um ângulo $\;\gamma\;$ dado que é constituído por dois arcos de circunferências congruentes das quais $\;AB\;$ é corda comum (5º lugar geométrico da lista).
   e
2. $|AC^2-BC^2|= k^2$
   • isto é, do lugar geométrico dos pontos $P$ para os quais é dada a diferença $\;k^2\;$ dos quadrados das suas distâncias a $\;A\;$ e a $\;B$ que é uma reta perpendicular a $\;AB\;$ (trata-se do 8º lugar geométrico da lista cuja construção se resume a encontrar os pontos de interseção das circunferências $\;(A, A_0P_0)\;$ e $\;(B, B_0P_0)\;$ ou das $\;(A, B_0P_0)\;$ e $\;(B, A_0P_0)\;$ e as retas definidas, uma por cada par de pontos de cada uma dessas interseções).

© geometrias, 4 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
A interseção dos lugares geométricos (2º e 8º, para os dados do problema) são os pontos $\;C, D, E, F \;$ Há, em consequência, quatro triângulos congruentes que são soluções do problema: $\;ABC\;$, $\;ABD\;$, $\;ABE\;$ e $\;ABF\;$.

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção

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Problema: Construir um triângulo $ABC$ de que são dados o lado $AB$, a altura $h$ relativa ao lado dado e a soma $k^2$ dos quadrados dos lados $AC$ e $BC$

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema de construção..
1.
Temos inicialmente dois pontos $\;A,\;B\;$ e dois segmentos $\;h\;$ e $\;k$, sendo $\;k^2 = AC^2 + BC^2 $
Chamámos $\;c\;$ à reta $\;AB;$.
2.
O triângulo fica construído se determinarmos um ponto $C$:

1. $H_c C = h$
   • isto é, do lugar geométrico dos pontos $P$ que estão à distância $\;h\;$ de $\;AB\;$ que é constituído pelas duas retas $\;c', c'' \;$ (2º lugar geométrico da lista).
   e
2. $AC^2+BC^2 = k^2$
   • isto é, do lugar geométrico dos pontos $P$ para os quais é constante a soma dos quadrados das suas distâncias a $\;A\;$ e a $\;B$ que é a circunferência amarela de centro no ponto médio de $\;AB\;$ e cujo raio $\;MP\;$ é tal que $\;MP^2=PA^2+PB^2\;$ ou, como já vimos, $\; \displaystyle MP^2+MB^2=\frac{k^2}{2}\;$ ( trata-se do 9º lugar geométrico da lista cuja construção se resume a encontrar os pontos N' e Q' que são os pés das perpendiculares a $\;AB\;$ tiradas pelos pontos $\;N\;$ e $\;Q\;$ de interseção da reta diagonal do quadrado de lado $AB$ com a circunferência centrada em $\;B\;$ e raio $\;k$).

© geometrias, 3 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
No caso da nossa construção, há quatro soluções: $\;ABC\;$, $\;ABD\;$, $\;ABE\;$ e $\;ABE\;$.
Para além das condições de existência do 9º lugar geométrico é preciso que $ \; \displaystyle h\leq \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}} \;$