GEOMETRIA

3.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção

Problema: Construir um triângulo

$ABC$ de que são dados o lado

$AB$ , a altura

$h$ relativa ao lado dado e a soma

$k^2$ dos quadrados dos lados

$AC$ e

$BC$

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema de construção..
1.
Temos inicialmente dois pontos

$\;A,\;B\;$ e dois segmentos

$\;h\;$ e

$\;k$ , sendo

$\;k^2 = AC^2 + BC^2$
Chamámos

$\;c\;$ à reta

$\;AB;$ .
2.
O triângulo fica construído se determinarmos um ponto

$C$ :

H_c C = h
- isto é, do lugar geométrico dos pontos $P$ que estão à distância $\;h\;$ de $\;AB\;$ que é constituído pelas duas retas $\;c', c'' \;$ (2º lugar geométrico da lista).
AC^2+BC^2 = k^2
- isto é, do lugar geométrico dos pontos $P$ para os quais é constante a soma dos quadrados das suas distâncias a $\;A\;$ e a $\;B$ que é a circunferência amarela de centro no ponto médio de $\;AB\;$ e cujo raio $\;MP\;$ é tal que $\;MP^2=PA^2+PB^2\;$ ou, como já vimos, $\; \displaystyle MP^2+MB^2=\frac{k^2}{2}\;$ ( trata-se do 9º lugar geométrico da lista cuja construção se resume a encontrar os pontos N' e Q' que são os pés das perpendiculares a $\;AB\;$ tiradas pelos pontos $\;N\;$ e $\;Q\;$ de interseção da reta diagonal do quadrado de lado $AB$ com a circunferência centrada em $\;B\;$ e raio $\;k$ ).

3.
No caso da nossa construção, há quatro soluções:

$\;ABC\;$ ,

$\;ABD\;$ ,

$\;ABE\;$ e

$\;ABE\;$ .
Para além das condições de existência do 9º lugar geométrico é preciso que

$\; \displaystyle h\leq \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}} \;$

1.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (3)

Problema: Determinar um ponto cujas distâncias a três pontos

$\;A, B, C\;$ dados tenham razões

$\;\displaystyle \frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{x}{z}$ .

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema..
1.
Temos inicialmente três pontos

$\;A$ (azul),

$\;B$ (verde) e

$\;C$ (castanho) e três segmentos

$\;x$ (azul),

$\;y$ (verde) e

$\;z$ (castanho)
Chamámos

$\;a\;$ à reta

$\;BC;$ . Do mesmo modo,

$\;b = AC$ e

$\;c = AB$
2.
O lugar geométrico dos pontos que estão à distância

$\;x\;$ de

$\;A\;$ é a circunferência (azul tracejado) de centro em

$\;A\;$ e raio

$\;x\;$ (1º lugar geométrico da lista). Do mesmo modo, o lugar geométrico dos pontos à distância

$\;y\;$ de

$\;B\;$ é a circunferência (verde tracejada) de centro em

$\;B\;$ e raio

$\;y\;$ e o lugar geométrico dos ponto à distância

$\;z\;$ de

$\;C\;$ é a circunferência de centro

$\;C\;$ e raio

$\;C$ .

3.
Como sabemos, há sempre duas homotetias a relacionar duas circunferências, de razões com valor absoluto igual à razão dos raios e centros sobre a reta dos centros das circunferências. Por exemplo, as circunferências

$\;(A, x)\;$ e

$\;(B, y)\;$ são correspondentes pelas homotetias

$\;{\cal H} \displaystyle \left(I_{AB}, -\frac{x}{y} \right)\;$ e

$\;{\cal H} \displaystyle \left(E_{AB}, \frac{x}{y}\right)$ :

$\displaystyle \frac{AI_{AB}}{I_{AB}B} = \frac{x}{y} = \frac{AE_{AB}}{E_{AB}B}$
Dito de outro modo, os pontos

$\;I_{AB}, E_{AB}\;$ dividem, interna e externamente, o segmento

$\;AB\;$ em segmentos cuja razão

$\; \displaystyle \frac{x}{y}$ . À circunferência de diâmetro

$\;I_{AB} E_{AB}\;$ chamamos circunferência de Apolónio para o segmento

$AB$ e a razão

$\; \displaystyle \frac{x}{y}$ . Esta circunferência é o lugar geométrico dos pontos

$X$ tais que, para os triângulos

$AXB$ , os pés das bissetrizes do ângulo

$\;A\hat{X}B\;$ sobre

$\;AB\;$ são

$\;I_{AB}, E_{AB}\;$ que separam harmonicamente

$\;AB\;$ e o dividem, interna e externanmente, em segmentos de razão

$\;\displaystyle \frac{x}{y}\;$ . Os pontos

$X$ dessas circunferências de Apolónio são tais que

$\; \displaystyle \frac{XA}{XB} = \frac{x}{y}\;$ (6º lugar geométrico da lista).
4.
Do mesmo modo, construímos os lugares geométricos
a) dos pontos para os quais é constante a razão

$\;\displaystyle \frac{y}{z}$ das suas distâncias aos pontos

$\;B, C\;$ que é a circunferência de diâmetro

$\;I_{BC}E_{BC}\;$
b) e dos pontos para os quais é constante a razão

$\;\displaystyle \frac{x}{z}$ das suas distâncias aos pontos

$\;A, C\;$ que é a circunferência de diâmetro

$\;I_{AC}E_{AC}\;$ .
5.
Os pontos

$\;P, Q\;$ de interseção desses três círculos de Apolónio (de diâmetros

$\;I_{AB}E_{AB}, I_{BC},E_{BC}, I_{AC}E_{AC}\;$ (recorrendo ao lg6 e lg1) estarão nas condições requeridas.

$\frac{PA}{PB}=\frac{x}{y}, \quad \frac{PB}{PC}=\frac{y}{z}, \quad \frac{PA}{PC}=\frac{x}{z}$

$\frac{QA}{QB}=\frac{x}{y}, \quad \frac{QB}{QC}=\frac{y}{z}, \quad \frac{QA}{QC}=\frac{x}{z}$

No caso da nossa construção, os pontos que verificam as condições do lugar geométrico são

$\;P, Q$ . Valerá a pena verificar as condições de existência das soluções.