Problema: Determinar um ponto cujas distâncias a três pontos $\;A, B, C\;$ dados tenham razões $\;\displaystyle \frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{x}{z}$.
Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema..
1.
Temos inicialmente três pontos $\;A$ (azul), $\;B$ (verde) e $\;C$ (castanho) e três segmentos $\;x$ (azul), $\;y$(verde) e $\;z$(castanho)
Chamámos $\;a\;$ à reta $\;BC;$. Do mesmo modo, $\;b = AC$ e $\;c = AB$
2.
O lugar geométrico dos pontos que estão à distância $\;x\;$ de $\;A\;$ é a circunferência (azul tracejado) de centro em $\;A\;$ e raio $\;x\;$ (1º lugar geométrico da lista). Do mesmo modo, o lugar geométrico dos pontos à distância $\;y\;$ de $\;B\;$ é a circunferência (verde tracejada) de centro em $\;B\;$ e raio $\;y\;$ e o lugar geométrico dos ponto à distância $\;z\;$ de $\;C\;$ é a circunferência de centro $\;C\;$ e raio $\;C$.
3.
Como sabemos, há sempre duas homotetias a relacionar duas circunferências, de razões com valor absoluto igual à razão dos raios e centros sobre a reta dos centros das circunferências. Por exemplo, as circunferências $\;(A, x)\;$ e $\;(B, y)\;$ são correspondentes pelas homotetias $\;{\cal H} \displaystyle \left(I_{AB}, -\frac{x}{y} \right)\;$ e $\;{\cal H} \displaystyle \left(E_{AB}, \frac{x}{y}\right)$: $\displaystyle \frac{AI_{AB}}{I_{AB}B} = \frac{x}{y} = \frac{AE_{AB}}{E_{AB}B}$
Dito de outro modo, os pontos $\;I_{AB}, E_{AB}\;$ dividem, interna e externamente, o segmento $\;AB\;$ em segmentos cuja razão $\; \displaystyle \frac{x}{y}$. À circunferência de diâmetro $\;I_{AB} E_{AB}\;$ chamamos circunferência de Apolónio para o segmento $AB$ e a razão $\; \displaystyle \frac{x}{y}$. Esta circunferência é o lugar geométrico dos pontos $X$ tais que, para os triângulos $AXB$, os pés das bissetrizes do ângulo $\;A\hat{X}B\;$ sobre $\;AB\;$ são $\;I_{AB}, E_{AB}\;$ que separam harmonicamente $\;AB\;$ e o dividem, interna e externanmente, em segmentos de razão $\;\displaystyle \frac{x}{y}\;$. Os pontos $X$ dessas circunferências de Apolónio são tais que $\; \displaystyle \frac{XA}{XB} = \frac{x}{y}\;$ (6º lugar geométrico da lista).
4.
Do mesmo modo, construímos os lugares geométricos
a) dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{y}{z}$ das suas distâncias aos pontos $\;B, C\;$ que é a circunferência de diâmetro $\;I_{BC}E_{BC}\;$
b) e dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{x}{z}$ das suas distâncias aos pontos $\;A, C\;$ que é a circunferência de diâmetro $\;I_{AC}E_{AC}\;$ .
5.
Os pontos $\;P, Q\;$ de interseção desses três círculos de Apolónio (de diâmetros $\;I_{AB}E_{AB}, I_{BC},E_{BC}, I_{AC}E_{AC}\;$ (recorrendo ao lg6 e lg1) estarão nas condições requeridas. $$\frac{PA}{PB}=\frac{x}{y}, \quad \frac{PB}{PC}=\frac{y}{z}, \quad \frac{PA}{PC}=\frac{x}{z}$$ $$\frac{QA}{QB}=\frac{x}{y}, \quad \frac{QB}{QC}=\frac{y}{z}, \quad \frac{QA}{QC}=\frac{x}{z}$$
No caso da nossa construção, os pontos que verificam as condições do lugar geométrico são $\;P, Q$. Valerá a pena verificar as condições de existência das soluções.
Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema..
1.
Temos inicialmente três pontos $\;A$ (azul), $\;B$ (verde) e $\;C$ (castanho) e três segmentos $\;x$ (azul), $\;y$(verde) e $\;z$(castanho)
Chamámos $\;a\;$ à reta $\;BC;$. Do mesmo modo, $\;b = AC$ e $\;c = AB$
2.
O lugar geométrico dos pontos que estão à distância $\;x\;$ de $\;A\;$ é a circunferência (azul tracejado) de centro em $\;A\;$ e raio $\;x\;$ (1º lugar geométrico da lista). Do mesmo modo, o lugar geométrico dos pontos à distância $\;y\;$ de $\;B\;$ é a circunferência (verde tracejada) de centro em $\;B\;$ e raio $\;y\;$ e o lugar geométrico dos ponto à distância $\;z\;$ de $\;C\;$ é a circunferência de centro $\;C\;$ e raio $\;C$.
© geometrias, 1 de Março de 2014, Criado com GeoGebra
3.
Como sabemos, há sempre duas homotetias a relacionar duas circunferências, de razões com valor absoluto igual à razão dos raios e centros sobre a reta dos centros das circunferências. Por exemplo, as circunferências $\;(A, x)\;$ e $\;(B, y)\;$ são correspondentes pelas homotetias $\;{\cal H} \displaystyle \left(I_{AB}, -\frac{x}{y} \right)\;$ e $\;{\cal H} \displaystyle \left(E_{AB}, \frac{x}{y}\right)$: $\displaystyle \frac{AI_{AB}}{I_{AB}B} = \frac{x}{y} = \frac{AE_{AB}}{E_{AB}B}$
Dito de outro modo, os pontos $\;I_{AB}, E_{AB}\;$ dividem, interna e externamente, o segmento $\;AB\;$ em segmentos cuja razão $\; \displaystyle \frac{x}{y}$. À circunferência de diâmetro $\;I_{AB} E_{AB}\;$ chamamos circunferência de Apolónio para o segmento $AB$ e a razão $\; \displaystyle \frac{x}{y}$. Esta circunferência é o lugar geométrico dos pontos $X$ tais que, para os triângulos $AXB$, os pés das bissetrizes do ângulo $\;A\hat{X}B\;$ sobre $\;AB\;$ são $\;I_{AB}, E_{AB}\;$ que separam harmonicamente $\;AB\;$ e o dividem, interna e externanmente, em segmentos de razão $\;\displaystyle \frac{x}{y}\;$. Os pontos $X$ dessas circunferências de Apolónio são tais que $\; \displaystyle \frac{XA}{XB} = \frac{x}{y}\;$ (6º lugar geométrico da lista).
4.
Do mesmo modo, construímos os lugares geométricos
a) dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{y}{z}$ das suas distâncias aos pontos $\;B, C\;$ que é a circunferência de diâmetro $\;I_{BC}E_{BC}\;$
b) e dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{x}{z}$ das suas distâncias aos pontos $\;A, C\;$ que é a circunferência de diâmetro $\;I_{AC}E_{AC}\;$ .
5.
Os pontos $\;P, Q\;$ de interseção desses três círculos de Apolónio (de diâmetros $\;I_{AB}E_{AB}, I_{BC},E_{BC}, I_{AC}E_{AC}\;$ (recorrendo ao lg6 e lg1) estarão nas condições requeridas. $$\frac{PA}{PB}=\frac{x}{y}, \quad \frac{PB}{PC}=\frac{y}{z}, \quad \frac{PA}{PC}=\frac{x}{z}$$ $$\frac{QA}{QB}=\frac{x}{y}, \quad \frac{QB}{QC}=\frac{y}{z}, \quad \frac{QA}{QC}=\frac{x}{z}$$
No caso da nossa construção, os pontos que verificam as condições do lugar geométrico são $\;P, Q$. Valerá a pena verificar as condições de existência das soluções.
