Resolução de problemas de construção usando (a lista de) lugares geométricos

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Vamos dar exemplo daquilo a que chamamos aplicação do método dos lugares geométricos à demonstração de teoremas ou resolução de problemas por construção geométrica (referida a instrumentos euclidianos)

Problema: Dados três pontos A, B, C e um ângulo γ, determinar a circunferência que passa por dois deles A e B e subtende o ângulo γ no terceiro ponto C.

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo que pode seguir deslocando o cursor do seletor |n|.
1.
No quadro inicial - |n=1| - encontram-se os dados do problema: A, B, C,γ.
Para resolver o problema de desenhar uma circunferência que passa por dois pontos A, B dados, basta determinar o seu centro O. Por 2 pontos passa uma infinidade de circunferências, tantas quantos os pontos da mediatriz de [AB].
2.
Que tem O a ver com a condição de essa ser uma cirucnferência que subtende um ângulo γ dado de vértice C?
Procuramos o centro O de uma circunferência para a qual as tangentes tiradas por C formam um ângulo ∠TCT'= γ, em que T, T' são pontos de tangência.
Como sabemos, será uma circunferência de raio OA=OB=OT para o qual ∠OTC é reto.
Neste passo |n=2| construímos sobre o ângulo γ de vértice C₀ triângulos ΔCT₀O₀ e ΔCT'₀O₀ e retângulos respetivamente em T₀ e T'₀, semelhantes entre si e aos ΔCTO e ΔCT'O.
Conhecemos agora T₀O₀ / C₀O₀ = TO / CO = AO / CO=BO / CO, constante para cada γ.

© geometrias, 22 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
|n=3|: -O é um dos pontos para os quais é uma constante k=T₀O₀ / C₀O₀ = AO / CO , ou seja, O está sobre a circunferência de Apolónio relativa a [AC] e constante k (6º lugar geométrico). Essa circunferência (tracejado a azul) tem diâmetro I₁ e E₁, centros das homotetias que transformam a circunferência centrada em A e de raio T₀O₀ na circunferência centrada em C e de raio C₀Os₀.
4.
|n=4|: - Do mesmo modo, se sabe que O é um dos pontos para os quais é uma constante $\displaystyle k=\frac{T_0O_0}{C_0O_0} = \frac{BO}{CO}$, isto é, está na circunferência de Apolónio (tracejada a amarelo) de diâmetro $I_2E_2$ sobre $BC$.
5.
|n=5|: - Os pontos O e O' de interseção das duas circunferências de Apolónio relativas a $AC$ e a $BC$ e razão comum $k$, são centros das circunferências que passam por $A$ e por $B$ e subtendem o ângulo $\gamma$ de vértice $C$.
6.
|n=6|: - Para finalizar, desenham-se para a circunferência de centro $O$ os triângulos $COT$ e $COT'$ iguais entre si e semelhantes a $C_0O_0T_0$ e $C_0O_0T'_0$.

Construção do 9º lugar geométrico

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O 9º lugar geométrico da lista foi assim enunciado IX. O lugar geométrico dos pontos para os quais a soma dos quadrados das distâncias a dois pontos dados é uma constante é uma circunferência de centro no ponto médio do segmento de reta definido pelos dois pontos dados.

1. Na anterior entrada, transcrevemos a proposta de H. Eves para a construção deste lugar geométrico. Assim
   • Tome-se a reta que passa pelos pontos $A, B$ dados. Num dos extremos, por exemplo $A$, construa-se um ângulo de 45º.
   • Com centro no outro extremo $B$, constrói-se uma circunferência de raio $k$ dado que, nas condições de existência do lugar geométrico $\displaystyle k >AB.\frac{\sqrt{2}}{2}$, interseta em dois pontos o segundo lado do ângulo de 45º em $B$.
   • A projeção ortogonal destes dois pontos sobre $AB$ são os extremos do diâmetro da circunferência de centro em $M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}}$.
   A figura que se segue, procura ilustrar e demonstrar essa proposta de determinação, por construção geométrica, dos elementos definidores do lugar geométrico, a saber $M, K, L$.

   © geometrias, 20 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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2. Já vimos na anterior entrada que o lugar geométrico dos pontos $P$ tais que $PA^2+PB^2=k^2$ é a circunferência de centro em $M$, ponto médio de $AB$ que pode ser definida pela equação em $P$: $\displaystyle PM^2 = \frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}$ que se pode escrever $\displaystyle PM^2 = \frac{k^2}{2} - BM^2$, por ser $AB=2BM$, ou ainda $\displaystyle PM^2+ MB^2 = \frac{k^2}{2}$
3. Assim, o raio $PM$ da circunferência dos pontos $P$ para os quais $PA^2+PB^2 =k^2$ pode ser obtido como um cateto de triângulo retângulo em $M$ de que o outro cateto é $BM$ e a hipotenusa é $\displaystyle \frac{k}{\sqrt{2}}$
4. Ora $\displaystyle \frac{k}{\sqrt{2}}$ é quanto mede o lado do quadrado de diagonal $k = BE$ raio da circunferência de centro em $B$, sendo $E$ um dos pontos de interseção da circunferência de raio $K$ com o segundo lado do ângulo de 45º em $A$. Um ponto $P$ do lugar geométrico obtém-se sobre a perpendicular a $AB$ tirada por $M$, extremo do lado $BP$ do quadrado de diagonal $k=BE$.
   $$MK=ML=PM : PM^2 + BM^2= \left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)^2$$
5. $PM\parallel GDK \parallel EFL$ :
   Projetam-se ortogonalmente sobre $AB$, da corda D$E$ da circunferência $(B, k) $, $D$ em $K$, $E$ em $L$ e o ponto médio de $DE$ em $M$ ponto médo de $AB$. Do mesmo modo, por simetria, para a corda $FG$ da circunferência $(A,k)$.