GEOMETRIA

24.1.14

Lista de lugares geométricos básicos: uma ilustração.

Os lugares geométricos da LISTA (de Eves) são os seguintes:

O lugar geométrico dos pontos a uma dada distância de um ponto dado é a circunferência tendo o ponto dado como centro e a distância dada como raio
O lugar geométrico dos pontos a uma dada distância de uma dada reta consiste em duas retas paralelas à reta dada e à distância dada desta.
O lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos dados é a mediatriz do segmento de reta com extremidades nos pontos dados.
O lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes dadas consiste nas bissetrizes dos ângulos formados pelas duas retas dadas.
O lugar geomético dos pontos dos quais partem retas para os extremos de um dado segmento de reta fazendo um dado ângulo consiste num par de arcos circulares iguais tendo como corda comum o segmento dado. Em particular, se o ângulo dado for um ângulo reto, os dois arcos são semicírcunferências de diâmetro igual ao segmento dado.
O lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a dois pontos A e B dados estão numa dada razão k≠1 é a circunferência de diâmetro IE, em que I e E dividem AB interna e externamente em segmentos na razão dada. (Esta é a circunferência de Apolónio para o segmento dado e a razão dada).
O lugar geométricos dos pontos cujas distâncias a duas retas concorrentes dadas estão numa dada razão k é um par de retas que passam pelo ponto de interseção das retas dadas. O lugar geométrico (iv) - bissetriz - é um caso particular deste em que k=1.
O lugar geométrico dos pontos para os quais a diferença dos quadrados das distâncias a dois pontos dados é uma constante é uma reta perpendicular à reta determinada pelos dos pontos dados.
O lugar geométrico dos pontos para os quais a soma dos quadrados das disâncias a dois pontos dados é uma constante é uma circunferência de centro no ponto médio do segmento de reta definido pelos dois pontos dados.

Todas estas construções podem ser feitas com as reta e a circunferência postuladas por Euclides. Praticamente todas foram abordadas neste geometrias . Em duas entradas recentes sucessivas, a construção (i) foi realizada primeiro só com circunferência e depois demonstrada com reta e circunferência.

Aqui está a construção que ilustra o lugar geométrico (II) dos pontos a uma distância dada de uma reta dada.

Visto esse, podemos avançar o seguinte: O lugar geometrico dos pontos a igual distância de duas retas paralelas dadas é uma reta paralela às retas dadas e a meia distância das duas (referido em terceiro lugar da lista de Birkhoff)
Em futuras entradas, ilustraremos e abordaremos com maior ou menor detalhe os restantes lugares da lista, bem como alguns lugares geométricos que usam algum (ou alguns) dos lg da lista .

Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
Nathan Altshilleer-Court.College Geometry - An Introduction to the Modern Geometry of the triangle and the Circle Dover Publicatons, New York:2007

22.1.14

Método dos lugares geométricos para solucionar problemas de construção geométrica

A "lugar geométrico" estão associados as noções de figura ou conjunto de pontos e de condição.
Um lugar geométrico é uma figura que inclui todos os pontos que satisfazem uma dada condição (ou condições) e só esses.
Um conjunto qualquer de pontos que satisfazem uma dada condição (ou que são soluções da condição) pode não ser considerado um lugar geométrico. Por exemplo: os pontos C e D, vértices dos dois triângulos equiláteros com uma base AB dada são equidistantes de A e de B, mas não constituem o lugar geométrico d(e tod)os pontos equidistantes de A e de B.
Dada uma condição, quando falamos do lugar geométrico dos pontos que a satisfazem estamos a considerar que se um ponto satisfaz a condição é ponto do lugar geométrico e qualquer ponto que não satisfaça a condição não está incluído no lugar geométrico.

Determinar um lugar geométrico é encontrar soluções de um problema de construção usando as regras básicas ou combinação de resultados conhecidos e demonstrados.

A solução de um problema de construção depende muito frequentemente da determinação de um ponto chave que pode ser solução de várias condições e pode ser obtido por várias construções conhecidas. O ponto chave de uma construção pode ser um ponto que satisfaz várias condições. Cada uma dessas condições, considerada isoladamente, restringe o ponto chave a um determinado lugar geométrico. E, por isso, o ponto chave é encontrado como interseção de certos lugares geométricos.
Ilustremos isso com um exemplo: o problema da construção da circunferência que passa por 3 pontos A, B, C. Para podermos desenhar essa circunferência, basta-nos determinar um ponto O que esteja a igual distância de A, B e C. Ou seja, um ponto O do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B e do lugar geométricos dos pontos equidistantes de B e C, por exemplo.

Aqui está a construção respetiva, cujos passos pode seguir deslocando o cursor n:

Este método de resolver um problema de construção é, e bem!, referido como o “método dos lugares geométricos”.
Para aplicar o método dos lugares geométricos a solucionar problemas de construção geométrica é preciso conhecer um número considerável de lugares geométricos construtíveis com as reta e circunferência postuladas ou compostas.
Três autores - Eves, Birkhoff e Altshiller-Court - apresentam listas diferentes de soluções de problemas básicos de construção geométrica que consideram úteis a quem vai usar o método dos lugares geométricos. Chamando a atenção para a necessidade de não só verificar a correção de cada um dos lugares geométricos como verificar a sua construtibilidades com os instrumentos euclidianos e a utilidade de uns na resolução de outros. Propoem ainda um grande conjunto de exercícios para usar alguns lugares geométricos da lista..
Um outro aspeto nos chamou a atenção nestas listas e nas suas diferenças. A enunciados diferentes, que nos pareciam equivalentes, correspondem os mesmos procedimentos de construção, mas lugares geométricos diferentes.
Disso daremos nota nas próximas entradas.