GEOMETRIA

12.12.13

Coordenadas, equações e inversão (1.retirculos)

Consideremos um referencial ortonormado $xOy$ e uma circunferência de centro $O(0,0)$ e $\mbox{raio}=1$.
Seja o ponto $P(x,y)$ distinto de $O(0,0)$. Pela inversão $I(O,1)$, $P$ é transformado num ponto $P'(x',y')$ se se verificar que $\overrightarrow{OP} . \overrightarrow{OP'} = 1$, ou seja $P'$ está sobre a semirreta $\dot{O}P$ e $ \overline{OP'} = \displaystyle\frac{1}{\overline{OP}}$
Nestas condições

$\angle PÔP'$ é nulo e $\overrightarrow{OP}. \overrightarrow{OP'} =\overline{OP}\times \overline{OP'} = \sqrt{x^2+y^2}\times\sqrt{x'^2 + y'^2} =1$
$\overrightarrow{OP}=(x-0, y-0)=(x, y)$, $\overrightarrow{OP'}=(x', y')$ e $ \overrightarrow{OP'}=k.\overrightarrow{OP}$, sendo $k$ real não nulo ou $(x',y')=(kx, ky)$
Assim: $\sqrt{x^2+y^2}\times\sqrt{(kx)^2 + (ky)^2} =1$ que é o mesmo que $k(x^2+y^2) = 1$ ou $$ k= \displaystyle \frac{1}{x^2+y^2}$$
Concluindo: Para a inversão $I(O,1)$, o inverso de um ponto $P(x,y)$ distinto da origem é o ponto $$P'\left(\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$$

Apoiados na construção que se segue, determinamos: (1) as coordenadas dos inversos de pontos dados pelas suas coordenadas, (2) equação da inversa de uma reta (que não passa por $O$, centro da inversão) dada por uma equação, (3) equação da inversa de uma circunferência (que não passa por $O$) dada pela sua equação.

Movendo o cursor verde $\;\fbox{ n }\;$ segue passo a passo as ilustrações dos resultados:
$\fbox{ n = 1}\;$: Representa-se a vermelho a circunferência da inversão $- \;I(O,1) - $ de equação $x^2+y^2=1$ (em $xOy$)
$\fbox{ n = 2}\;$: Assinalam-se os pontos $A(\frac{3}{2}, 0)$, $B(0, 2)$ e $C(-2, -1)$ (e os seus inversos)
$\fbox{ n = 3}\;$: Apresenta-se a reta de equação $y=2x+1$ (e a sua inversa)
$\fbox{ n = 4}\;$: Apresenta-se a circunferência de equação $(x-0,5)^2+(y+0,4)^2=0,04$ (e a sua inversa)

Já vimos acima que a inversão $I(O,1)$, no plano cartesiano, fica bem definida por $$\left\{ \begin{matrix} x'=\frac{x}{x^2+y^2}\\ y'=\frac{y}{x^2+y^2} \end{matrix} \right.$$
Passe para $\fbox{ n = 2}\;:\;\;\;\;\;\;A=\left(\frac{3}{2}, 0\right) \longmapsto A'= \left(\frac{2}{3}, 0\right); \;\;\;\;\;\; B=(0, -2) \longmapsto B'=\left(0, -\frac{1}{2}\right); $ e $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\; C=(-2, -1) \longmapsto C'= \displaystyle\left(\frac{-2}{5}, \frac{-1}{5} \right)$
Passe para $\fbox{ n = 3}\;$: A equação da inversa da reta (circunferência) $y=2x+1,\;\mbox{que não passa por } (0,0)\;\;\;x^2+y^2\neq 0$), será $$\frac{y}{x^2+y^2}= 2.\frac{x}{x^2+y^2} +1 \Longleftrightarrow y= 2x + x^2+y^2 \Longleftrightarrow x^2+2x+y^2-y=0 $$ ou $$(x+1)^2 +\left(y-\frac{1}{2}\right)^2 =\frac{5}{4}$$ $\mbox{circunferência que passa por} \; O\;\; \mbox{e corta} \;\;(O, 1) \mbox{onde a reta}\;\; y=2x+1\;\;$ a corta.

Passe para $\fbox{ n = 4}\;$: A equação da inversa da circunferência de equação $$(x-0,5)^2+(y+0,4)^2=0,04\;,$$ $\mbox{já que não passa por}\; (0,0) \; \; \mbox{ou para os pontos da qual se verifica}\;\;x^2+y^2 \neq 0$, será $$\left(\frac{x}{x^2+y^2} - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{x^2+y^2} - \frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{100} \Longleftrightarrow \ldots\\ \ldots \Longleftrightarrow \left(x-\frac{135}{100} \right)^2 +\left(y+\frac{108}{100}\right)^2=\frac{29}{100} $$

A folha algébrica do GeoGebra permite verificar as equações... obtidas

9.12.13

Determinar inversão que relaciona duas circunferências dadas (3)

Há inversão entre duas circunferências quaisquer? (3)

3º caso:
Dadas duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ (uma interior da outra) que não se intersetam, determinar uma inversão que transforme uma na outra.

Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.

Usando a homotetia de razão negativa de centro $O_1$.
Determinação de $I(O_1, r^2)$

Sabemos que quaisquer duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ são homotéticas.
No caso que estudamos nesta entrada, as circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ que não se intersetam e $(C_2)$ está no interior de $(C_1)$. Tomamos, em primeiro lugar o centro $O_1$ entre $C_1$ e $C_2$ da homotetia de razão negativa que transforma $(C_1)$ em $(C_2)$ para centro da inversão, para a qual $P$ é transformado em $Q'$. Falta determinar o raio da circunferência de inversão.
Seja $P$ um ponto qualquer de $(C_1)$. A reta $O_1P$, que não é a tangente a $(C_1)$ em $P$ tirada por $O_1$, corta a circunferência $(C_1)$ num outro ponto $Q$ e $(C_2)$ em dois pontos que designamos por $P'$ e $Q'$. Já sabemos que a homotetia de centro em $O_1$ transforma $P$ em $Q'$ e $Q$ em $P'$. E sabemos também que, para o inverso de $A$ relativamente a $O_1$ ser $A'$, este estará sobre a corda da circunferência de inversão que une os pontos de tangência das tangentes a ela tiradas pelo ponto $A$ exterior.
Os pontos de tangência estarão, neste caso, na perpendicular a $AO_1$ em $A'$ com a cirucnferência de diâmetro $AO_1$. Seja $T$ um deles. A circunferência de inversão de centro $O_1$, que transforma o ponto $A$ genérico de $(C_1)$ no ponto $A'$ de $(C_2)$, tem raio $O_1T$.

Usando a homotetia de razão positiva de centro $O_2$.
Determinação de $I(O_2, r^2)$

Na construção acima, tomamos a homotetia de razão positiva com centro $O_2$ que transforma $P$ em $Q'$.
$O_2$ estará na interseção de $PQ'$ com $C_1C_2$.
Para determinar o raio $r$ da circunferência de inversão de centro em $O_2$ que transforma $P$ no ponto $P'$ tal que $O_2P \times O_2P'= r^2$, tomamos uma circunferência auxiliar por reflexão de $(C_2)$ relativamente à perpendicular a $C_1C_2$ tirada por $O_2$. A reta $PQ'$ corta esta última circunferência em $P_1$ e $Q_1$ que se transformam em $P'$ e $Q'$ por meia volta de centro $O_2$. A circunferência de inversão terá por isso de passar pelos pontos de interseção de $(C_1)$ com esta circunferência transformada de $(C_2)$ por meia volta de centro $O_2$

Uma circunferência $(C_1$ de que $P$ é um ponto genérico é transformada pelas inversões acima definidas na circunferência $(C_2)$.