Inverter segmentos de uma reta em segmentos iguais

Temos três pontos $A, B, C$ colineares. Procuremos definir a inversão que transforma $A, B, C$ em $A', B', C'$ de tal modo que $A'B' = B'C'$

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Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.

1. Como os pontos $A, B, C$ são colineares (sobre uma reta $a$). os seus inversos $A', B', C'$ ou são colineares ou são concíclicos.
2. Para que $A'B'$ e $B'C'$ sejam ambos segmentos de reta é necessário que $O$ seja colinear com $A, B, C$ ($O \in a$) e, em consequência, sobre $a$ também estarão $A', B', C'$, sendo $OA \times OA' = OB \times OB' = OC\times OC' =r^2$ se chamarmos $r$ ao raio da circunferência $(O)$ de inversão.
3. Qualquer que seja $O$ de $a$, para $A$ e $B$ de $a$, $\overrightarrow{OA} =\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA}$ e $\overrightarrow{OB'}=\overrightarrow{OA'}+ \overrightarrow{A'B'}$ e
   $$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OA'}= \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OB'}$$ $$(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA}).\overrightarrow{OA'} =\overrightarrow{OB}.(\overrightarrow{OA'}+ \overrightarrow{A'B'})$$ $$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OA'}=\overrightarrow{OB}. \overrightarrow{A'B'}$$ $$A'B' = \frac{AB\times OA'}{OB} = \frac{AB\times r^2}{OA\times OB}$$ Do mesmo modo, se relaciona $B'C'$ com $BC$: $$B'C' = \frac{BC \times r^2}{OB\times OC}$$
4. Ser $A'B'= B'C'$ é o mesmo que $$ \frac{AB\times r^2}{OA\times OB}=\frac{BC \times r^2}{OB\times OC}$$ ou seja, $$\frac{AB}{OA}= \frac{BC}{OC} \;\;\mbox{ou} \;\; \frac{OA}{OC}= \frac{AB}{BC}$$ Ora a igualdade $$\;\;\displaystyle \frac{OA}{OC}= -\frac{BA}{BC}\;\;\;$$ verifica-se para o ponto $O$ de $a$ que é conjugado harmónico de B, relativamente a $AC$: $$(O, B; A, C)=-1$$

Fica assim demonstrado que a inversão que procuramos é relativa a uma circunferência de centro $O$, bem determinado e único para o terno de pontos $A, B, C$, e raio $r$ qualquer.

Para seguir os passos da construção, desloque o cursor $\;\fbox{ n }\;$

© geometrias, 26 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra

Triângulo qualquer pode ser invertido em triângulo retângulo

Um triângulo qualquer pode ser invertido num triângulo retângulo?

Seja $ABC$ um triângulo qualquer. Qual é o lugar geométrico dos centros de uma inversão que transforme o triângulo $ABC$ num triângulo retângulo?

Na nossa construção, procurámos o lugar geométrico dos centros das inversões que transformam o triângulo $ABC$ num triângulo $A'B'C'$ retângulo em $A'$, isto é, tal que $B'C'$ é o diâmetro da circunferência circunscrita a $A'B'C'$.

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Par seguir os passos da construção, desloque o cursor $\;\fbox{ n }\;$

© geometrias, 18 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra

Passos:

1. São dados os três vértices e os três lados do triângulo $ABC$ .
2. Considerando a construção que permite inverter um quadrilátero qualquer para um retângulo publicada na última entrada, o lugar geométrico dos centros de inversão que transformam um triângulo qualquer num triângulo retângulo será a circunferência $(O_a)$ (laranja) ortogonal à circunferência $(O)$ e a passar por $B$ e $C$.
3. Um ponto $K$ qualquer de $(O_a)$ é o centro da circunferência de inversão (a vermelho) com raio $r$ qualquer.
4. A inversa de $(O)$, por $I(K, r^2)$, é uma circunferência que terá o seu centro sobre $OK$ e que interseta $\;KA, KB, X KC\; $ em $\;A', B', C'\;$ inversos respetivamente de $\;A, B, C$
5. $A'B'C'\;$ é um triângulo retângulo em $A'$