GEOMETRIA

4.11.13

Circunferências de Apolónio - uma propriedade

Seja ABC um triângulo. Designando os lados por a=BC, b=AC e c=AB, tiramos as bissetrizes internas e externas dos ângulos do triângulo e chamamos A' e A'' aos pés em a das bissetrizes do ângulo A; B' e B'' aos pés sobre b das bissetrizes de B; C' e C'' aos pés das bissetrizes sobre c do ângulo C. Cada uma das circunferências de diâmetros A'A'', B'B'' e C'C'' (chamadas circunferências de Apolónio) corta cada uma das outras num ângulo de 120 graus.

Este resultado é obtido de forma simples recorrendo à inversão; os ângulos de duas circunferências são os ângulos formados pelas tangentes em ponto de interseção das duas que são preservado por inversão.

Debrucemo-nos sobre um par destas circunferências, de diâmetros B'B'' e C'C'', por exemplo. Para os outros pares, o resultado pode ser obtido de forma inteiramente análoga.

A circunferência de diâmetro B'B' passa por B, porque BB' e BB'' são perpendiculares (bissetrizes interna e externa de B). Do mesmo modo, a circunferência de diâmetro C'C'' passa por C.
Tomamos para circunferência de inversão uma circunferência centrada em A e raio qualquer. Invertemos as circunferências de diâmetros B'B'' e C'C'' e os pontos B₁; e C₁ inversos de B e C, são os pontos médios dos inversos de C'C'' e de B'B'' respetivamente ( notar que (B',B'';A,C)=-1 e que (C',C''; A, B)=-1). Ou seja, B₁ é o centro da a circunferência inversa da circunferência de diâmetro C'C'' e C₁ é centro da circunferência inversa da circunferência de diâmetro B'B''.
Porque a circunferência de diâmetro B'B'' passa por B, a sua inversa passa por B₁ e, do mesmo modo, a inversa da circunferência de diâmetro C'C'' passa por C₁. Cada uma destas circunferências passa pelo centro da outra, cortando-se em dois pontos, M₁ e M₂. Nas condições descritas, o triângulo M₁B₁C₁ é equilátero e as tangentes a estas duas circunferências são perpendiculares aos dois lados M₁B₁, raio da circunferência centrada em B₁, e a M₁C₁, raio da circunferência centrada em C₁, que, sendo lados de um triângulo equilátero fazem um ângulo de 60 graus. As tangentes uma a cada circunferência, perpendiculares a retas que formam ângulo de 60 graus, formam entre si um ângulo de 120 graus que preservado por inversão, é o ângulo que fazem as circunferências de diâmetros B'B'' e C'C'' (inversas das circunferências (B₁) e (C₁)).

2.11.13

Mais uma aplicação da inversão

Caso particular do problema de Apolónio

Determinar uma circunferência tangente a três dadas circunferências concorrentes mas não co-axiais. (usando a Inversão)

Pode seguir os passos da construção, descrita a seguir, clicando no botão de navegação (>>) ao fundo da janela de visualização.

Na construção partimos das circunferências (C_i), de centro C_i, que se intersetam num só ponto O. Se tormarmos uma circunferência (O) de raio qualquer para circunferência de inversão, como as circunferências (C_i) passam pelo centro de inversão O, as suas inversas (C_i)' são retas, precisamente as retas definidas pelas interseções de cada (C_i) com (O). A cirucnferência (I) inscrita no trilátero (C₁)', (C₂)', (C_i)' é tangente a essas retas e, por isso, usando a mesma inversão de centro O, obtemos uma corrrespondente (I)', circunferência que é tangente às três (C_i).

Claro que há mais 3 soluções, já que para além da inscrita (I), há 3 ex-inscritas tangentes às (C_i)' que se invertem em 3 circunferências cada uma delas tangente às 3 (C_i) dadas.