Homologia que transforma um triângulo qualquer num equilátero

Há construções feitas no âmbito de notas de estudo sobre geometria projetiva que foram abandonadas na sequência apresentada e que vamos interromper. Uma delas foi a construção de um triângulo equilátero homólogo a um triângulo qualquer. Ou dito de outro modo, dado um triângulo qualquer determinar elementos definidores de uma homologia que o transforma num triângulo equilátero. É o que fica ilustrado na construção seguinte:

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na construção, é dado um triângulo ABC. Exigir que o seu homólogo A'B'C' seja equilátero, i. e. que $\overline{B'C'}=\overline{C'A'}=\overline{A'B'}$. Esta condição é equivalente a outras como $ \angle C'\hat{A'}B' = \angle A'\hat{B'}C' = \angle B'\hat{C'}A'$, ...
Como sabemos a imagem de qualquer ponto $P$ por uma homologia de centro $O$ e eixo $e$ será um ponto $P'$ de $OP$. Do mesmo modo, a imagem de um outro ponto $Q$ será um ponto $Q'$ de $OQ$. Além disso, $PQ.P'Q'$ terá de ser um ponto do eixo $e$.
A reta do inifinito do plano terá os seus correspondentes numa reta, a que chamamos reta limite. Há uma reta limite que tem por imagem hmológica a reta no infinito, assim como há a reta limite que é imagem da reta no infinito. Qualquer das retas limite é paralela ao eixo, como é óbvio: $\infty_e \longrightarrow \infty'_e (= O\infty_e . l$
Se nos derem a reta limite $l$ dos originais dos pontos no infinito, o ponto $PQ.l$ é o original do ponto no infinito de $P'Q'$, ou seja, $P'Q'$ é a reta que passa por $PQ.e$ e é paralela a $O(PQ.l)$. Dito de outro modo, dar a reta limite é dar a direção da reta homóloga de qualquer reta dada.
Sendo-nos dada a reta $l$ limite dos originais dos ponto no infinito pela homologia, e chamando $a$ a $BC$, $b$ a $AC$, $c$ a $AB$, $L_a$ a $a.l$, $L_b$ a $b.l$, $L_c$ a $c.l$, a direção de $B'C'$ ou a' é a mesma de $OL_a$, $b'//OL_b$, $c'//OL_c$. Para que A'B'C' seja equilátero só tenho que garantir que sejam iguais a $60^o$ dois dos ângulos $L_b\hat{O}L_c $, $L_c\hat{O}L_a$ e $L_a\hat{O} L_b$. Isso chega para garantir que $\hat{A'}=\hat{B'}=\hat{C'}=60^o$.
Tomada uma reta $l$ para reta limite e, sobre ela, determinados os ponto $L_a$, $L_b$ e $L_c$, o centro $O$ da homologia terá de estar sobre circunferências em que $L_b L_c$, $L_c L_a$ e $L_a L_b$ sejam lados de triângulos equiláteros (inscritos nas respetivas circunferências).

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Teorema de Armin Saam (demonstração usando colagens de configurações de Ceva)

Na última entrada, numa triangulação composta por triângulos equipados com configuração de Ceva em que dois triângulos adjacentes partilham um lado e o respetivo ponto de bordo, fica esclarecido que as configurações de Ceva de todos os triângulos, à exceção de um deles, induz uma configuração de Ceva neste último.
O Teorema de Ceva é um teorema de incidência e, do mesmo modo, é um teorema de incidência o última resultado obtido para a triangulação da última entrada:
A existência de um ponto de Ceva P num triângulo ABC é equivalente à relação $$\frac{AX}{XB} \times \frac{BY}{YC} \times \frac{CZ}{ZA} =1$$ em que AB.CP é X, BC.AP é Y e AC.BP é Z.
Na segunda entrada sobre o Teorema de Armin Saam consideram-se 5 retas $r_i$ distintas, intersetando-se num ponto $O$, e cinco pontos $P_i$, sendo $P_i \in r_i$. Faz-se corresponder a um ponto $A_1$ de $r_1$ um ponto $A_2$ por perspetividade centrada em $P_4$ de $r_4$ ou ${A_2}=A_1 P_4 . r_2$, e sucessivamente ${A_3}=A_2 P_5, {A_4}= A_3 P_1 . r_4, {A_5}=A_4 P_2 . r_5, {A_6}=A_5 P_3 - r_1$. Sabemos que pode acontecer que $A_6 = A_1$, mas se for $A_6 \neq A_1$, continuamos a usar as perspetividades para obter novos pontos ${A_7}= A_6 P_4.r_2, {A_8}=A_7 P_5.r_3, {A_9}=A_8 P_1.r_4, {A_{10}}=A_9 P_2.r_5 até {A_{11}}=A_{10} P_3.r_1$. E conjeturámos então que $A_{11} = A_1$, a partir da ilustração dinâmica.
Retomamos, em seguida, a ilustração dinâmica então feita e nela acrescentamos $A_1 A_7 , A_7 A_3 , A_3 A_9 , A_9 A_5 , A_5 A_1$ e a sequência dos pontos $r_4.A_1 A_7, r_5.A_7 A_3, r_1.A_3 A_9, r_2.A_9 A_5, r_3. A_5 A_1$ designados $B_i, i = 1,\ldots 5$, por essa ordem.
Realçamos os triângulos a vermelho na figura para vermos a triangulação composta por 5 triângulos equipados com configurações de Ceva, cujos pontos de Ceva são os designados {P_i}.

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E, como sabemos, a sucessão de configurações de Ceva desde $O A_1 A_7$ até $O A_9 A_5$ obriga uma configuração de Ceva para $O A_5 A_1$ em que uma das cevianas é exatamente $A_{10} A_1$ passando por $P_3$, centro da perspetividade na configuração de Amir Saam e ponto de Ceva da triangulação. Fica assim demonstrado que as duas voltas das perspetividades nas condições de Amir Saam levam de $A_1$ para $A_1$.

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Seguindo
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry - A guided tour through real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin: 2011