O Teorema de Ceva pode ser generalizado? Procuramos dar resposta a essa pergunta nesta entrada, reorganizando os dados e a demonstração para uma generalização óbvia (usando índices).
Retiremos das hipóteses do teorema de Ceva o que é essencial:
- Três pontos distintos (vértices de um triângulo) $A_1$, $A_2$, $A_3$ não colineares.
- Um ponto P não incidente em qualquer das retas definidas pelos 3 pares de pontos anteriores: $A_1 A_2$, $A_2 A_3$, $A_3 A_1$
- Os três pontos $\{B_1\} = A_1 A_2.P A_3$, $\{B_2\} = A_2 A_3.P A_1$ e $\{B_3\} = A_3 A_1.P A_2$ das retas $A_1 A_2, \; A_2 A_3, \; A_3 A_1$.
Se estas condições se verificarem, resulta que
$$\frac{A_1 B_1}{B_1 A_2}\times \frac{A_2 B_2}{B_2 A_3} \times \frac{A_3 B_3}{B_3 A_1} = 1$$
Lembramos ainda que a demonstração foi feita usando a igualdade de cada uma das razões simples (do esquema cíclico bem visível na tese) com igualdade de áreas de triângulos, a saber:
$$\frac{A_1 B_1}{B_1 A_2} = \frac{[A_1 P A_3]}{[P A_2 A_3]}, \;\; \;\; \;\;\;\;\frac{A_2 B_2}{B_2 A_3} = \frac{[A_2 P A_1]}{[P A_3 A_1]}, \;\; \;\; \;\;\; \;\; \;\frac{A_3 B_3}{B_3 A_1} = \frac{[A_3 P A_2]}{[P A_1 A_2]}$$
que nos levou naturalmente ao resultado esperado
$$\frac{A_1 B_1}{B_1 A_2}\times \frac{A_2 B_2}{B_2 A_3} \times \frac{A_3 B_3}{B_3 A_1} = \frac{[A_1 P A_3]}{[P A_2 A_3]}\times \frac{[A_2 P A_1]}{[P A_3 A_1]}\times \frac{[A_3 P A_2]}{[P A_1 A_2]} = 1$$
já que para cada triângulo do numerador um outro com os mesmos vérices e de igual área aparece no denominador do produto.
Seguiremos este processo para provar que
Sendo $n$ um número ímpar e quaisquer n+1 pontos $A_1, A_2, \ldots A_n$ (dos quais não há 3 colineares} e $P$ que não incida em qualquer das retas $A_i A_{i+1}, i=1, \dots, n-1$, tomados os pontos
$\{B_i\}=A_i A_{i+1}.PA_j $ em que $j=i+\frac{n+1}{2}$ (índices módulo $n$, $A_{n+1} = A_1, \ldots$)
então
$$\Pi_{i=1}^{n} \frac{A_i B_i}{B_i A_{i+1}} = 1, $$
generalização do Teorema de Ceva, conhecida por Teorema de Hoehn.
Trataremos da demonstração na próxima entrada.
Seguindo
Richter-Gebert.
Perspectives on Projective Geometry - A guided tour through real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin: 2011
