Casos particulares de homologia

Nas notas de estudo que temos vindo a adoptar, para quaisquer duas retas do plano há sempre um único ponto em que ambas incidem. Esse ponto pode ser próprio ou impróprio e, quando o ponto comum a duas retas do plano é impróprio, dizemos que as retas são paralelas. Ao conjunto de pontos impróprios do plano, chamamos reta imprópria do plano.
Designamos pontos por A, B, C, ...e retas por a, b, c,... ou por AB a reta que incide em A e B, ... E por A_∞ designamos o ponto impróprio de a, que também designámos e designaremos, ainda que mais raramente, por ∞_a.
Sejam duas retas r e s e os seus pontos impróprios R_∞ e S_∞. Dizemos que estas retas r e s são paralelas quando r.s={R_∞}= {S_∞}. Quando isso acontece também dizemos que essas retas têm a mesma direção ou, dito de outro modo, dar um ponto impróprio é dar uma direção.
Uma homologia no plano é determinada por um feixe duplo de retas a passar por um ponto duplo O (centro da homologia) e por uma pontual de pontos duplos sobre uma reta (eixo da homologia). Dizemos que qualquer conjunto de pontos do plano (ou figura do plano) é duplo para uma homologia quando é homológico de si mesma, isto é, quando cada um dos seus pontos é transformado em si mesmo ou noutro dos seus pontos.

Uma homologia (de centro O e eixo e) ficou assim definida: ∀ (A, B) ∃ (A', B') : A'∈OA, B'∈OB e AB.A'B'∈e
Merecem menção especial os seguintes casos particulares de homologias do plano no plano:

1. a homologia em que o centro do feixe duplo é um ponto impróprio toma o nome de afinidade (homologia afim, afinidade homológica) e, destas, os casos particulares das reflexões relativamente ao eixo;
2. a homologia de centro próprio O e eixo impróprio que é uma homotetia e, destas, a reflexão relativa ao seu centro;
3. a homologia de centro e eixo impróprios que (sendo uma afinidade de eixo impóprio) é conhecida como translação.

Circunferência e hipérbole: centro, eixos e vértices da hipérbole

Na construção desta entrada, temos uma homologia definida pelo centro O, eixo e e reta limite l e uma circunferência cortada pela reta limite em dois pontos L₁ e L₂. Como já vimos antes a curva homológica desta circunferência é uma hipérbole precisamente por que dois dos seus pontos, L₁ e L₂, têm por homólogos dois pontos da reta do infinito (homóloga da reta limite). Tomadas as tangentes à circunferência em L₁ e L₂ (que passam pelo polo C de l), as suas homólogas são paralelas a OL₁ e OL₂ tiradas pelos pontos e.CL₁ e e.CL₂ que são tangentes em pontos do infinito (assíntotas) da hipérbole.
O homólogo de C, C', está no ponto de encontro das duas assíntotas, simétricas relativamente às bissetrizes do ângulo por elas formado. As bissetrizes são eixos de simetria da hipérbole homológica da circunferência. Os vértices A' e B' da hipérbole estarão numa das bissetrizes e serão homológos de pontos da circunferência A e B sobre a reta que passa por C e pelo ponto onde a bissetriz encontra o eixo da homologia. A' será a interseção de OA com a bissetriz. B' pode ser obtido do mesmo modo ou como simétrico de A' relativamente a C' ou à segunda bissetriz.
Qualquer ponto P' da hipérbole pode ser obtido sobre uma reta secante que passe por C' e sobre OP sendo P um ponto da circunferência sobre a reta que passa por C e pelo ponto de interseção da secante por C'. Os simétricos de P' relativamente a qualquer dos eixos são outros pontos da hipérbole.
Fica ainda ilustrado o facto da tangente à circunferência em A ser transformada na tangente à hipérbole em A' (perpendicular à bissetriz que é o eixo de simetria transverso).

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