Circunferência e hipérbole: centro, eixos e vértices da hipérbole

Na construção desta entrada, temos uma homologia definida pelo centro O, eixo e e reta limite l e uma circunferência cortada pela reta limite em dois pontos L₁ e L₂. Como já vimos antes a curva homológica desta circunferência é uma hipérbole precisamente por que dois dos seus pontos, L₁ e L₂, têm por homólogos dois pontos da reta do infinito (homóloga da reta limite). Tomadas as tangentes à circunferência em L₁ e L₂ (que passam pelo polo C de l), as suas homólogas são paralelas a OL₁ e OL₂ tiradas pelos pontos e.CL₁ e e.CL₂ que são tangentes em pontos do infinito (assíntotas) da hipérbole.
O homólogo de C, C', está no ponto de encontro das duas assíntotas, simétricas relativamente às bissetrizes do ângulo por elas formado. As bissetrizes são eixos de simetria da hipérbole homológica da circunferência. Os vértices A' e B' da hipérbole estarão numa das bissetrizes e serão homológos de pontos da circunferência A e B sobre a reta que passa por C e pelo ponto onde a bissetriz encontra o eixo da homologia. A' será a interseção de OA com a bissetriz. B' pode ser obtido do mesmo modo ou como simétrico de A' relativamente a C' ou à segunda bissetriz.
Qualquer ponto P' da hipérbole pode ser obtido sobre uma reta secante que passe por C' e sobre OP sendo P um ponto da circunferência sobre a reta que passa por C e pelo ponto de interseção da secante por C'. Os simétricos de P' relativamente a qualquer dos eixos são outros pontos da hipérbole.
Fica ainda ilustrado o facto da tangente à circunferência em A ser transformada na tangente à hipérbole em A' (perpendicular à bissetriz que é o eixo de simetria transverso).

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Circunferência homológica de uma parábola: vértice e eixo de simetria

Como já vimos, sempre que tomamos uma circunferência tangente à reta limite de uma dada homologia, a cónica homológica da circunferência tem um ponto no infinito (homólogo do único ponto limite da circunferência) e é, por isso, uma parábola.
Na construção desta entrada tivemos o cuidado de tomar um ponto V da circunferência na perpendicular a OI tirada por I. Deste modo, temos um ponto V que tem por homólogo um ponto V', dado pela interseção da paralela a OI tirada por IV.e com OV. Tomámos L₁ da reta limite tal que OL₁ é perpendicular a OI e V' também pode ser obtido como a interseção de OV com a reta paralela a OL₁ tirada por e.VL₁. Estas duas retas que passam por V' são perpendiculares: aquela que é paralela a OI é um eixo de simetria da parábola; a que é paralela a OL₁ é a tangente em V' (vértice da parábola).
De resto ainda determinámos a polar de O, ST, pela polaridade induzida pela circunferência e determinámos os homólogos de S e T, para além dos homólogos dos dois pontos da circunferência A e B sobre uma secante tirada por L₁ que são obviamente simétricos relativamente ao eixo de simetria da parábola.

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