Circunferência homológica de uma parábola: vértice e eixo de simetria

Como já vimos, sempre que tomamos uma circunferência tangente à reta limite de uma dada homologia, a cónica homológica da circunferência tem um ponto no infinito (homólogo do único ponto limite da circunferência) e é, por isso, uma parábola.
Na construção desta entrada tivemos o cuidado de tomar um ponto V da circunferência na perpendicular a OI tirada por I. Deste modo, temos um ponto V que tem por homólogo um ponto V', dado pela interseção da paralela a OI tirada por IV.e com OV. Tomámos L₁ da reta limite tal que OL₁ é perpendicular a OI e V' também pode ser obtido como a interseção de OV com a reta paralela a OL₁ tirada por e.VL₁. Estas duas retas que passam por V' são perpendiculares: aquela que é paralela a OI é um eixo de simetria da parábola; a que é paralela a OL₁ é a tangente em V' (vértice da parábola).
De resto ainda determinámos a polar de O, ST, pela polaridade induzida pela circunferência e determinámos os homólogos de S e T, para além dos homólogos dos dois pontos da circunferência A e B sobre uma secante tirada por L₁ que são obviamente simétricos relativamente ao eixo de simetria da parábola.

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Circunferência e sua homológica: eixos de simetria da elipse

Nas últimas entradas, temos vindo a determinar elipses homológicas de uma dada circunferência para homologias definidas pelo seu centro O, eixo e e reta limite l. Para o fazer temos determinado

1. o polo P da reta limite na polaridade induzida pela circunferência que se transforma pela homologia no centro P' da elipse homológica;
2. para determinar esse polo da reta l, temos tomado dois dos pontos desta - L₁ e L₂ - tais que a polar de cada um deles interseta a circunferência nos pontos de tangência das tangentes tiradas pelo outro, de modo a obtermos um quadrilátero circunscrito de diagonais a intersetar-se em P (polo de l); no caso: a polar de L₁ é AB que passa por L₂ e a polar de L₂ é CD que passa por L₁ e, por isso, AB e CD são conjugados já que AB contém o polo de CD e CD contém o polo de AB ;
3. as homólogas de AL₁ e BL₁ são retas paralelas (já que o homólogo de L₁ é um ponto impróprio) entre si e paralelas a C'D' que é homóloga de CD também a passar por L₁; do mesmo modo são paralelas as homólogas de CL₂ e de DL₂ e A'B';
4. assim o quadrilátero circunscrito à circunferência tem por homólogo um paralelogramo (a negro) de centro P' e o par de retas A'B' e C'D' são diâmetros (passam pelo centro), conjugadas porque cada uma delas contém o polo da outra (pontos impróprios de OL₂ e de OL₁, respetivamente).

Mas nessas construções anteriores, os diâmetros conjugados determinados não eram eixos de simetria da elipse. Nesta construção, trataremos de determinar diâmetros conjugados perpendiculares, isto é, determinar os eixos de simetria da elipse e o retângulo circunscrito à elipse.
Como os diâmetros têm as direções de OL₁ e de OL₂, se quisermos obter os eixos de simetria da elipse devemos tomar os pontos de tal forma que L₁OL₂ seja um triângulo retângulo em O, isto é, inscrito numa circunferência de diâmetro L₁L₂ que passa por O.
Para determinar a circunferência de centro em O com diâmetro sobre l, determinamos o seu centro N sobre l e a mediatriz de uma sua corda que passe por O. O outro extremo da corda O₁ pode ser determinado sobre OK e a perpendicular da tangente à circunferência de centro K tirada por O no seu ponto de tangência T. Desta maneira, obtemos uma circunferência (a tracejado) de centro N que passa por O, interseta l em L₁ e L₂ e tal que a polar de N pela polaridade induzida pela circunferência de centro K é a mesma que a polar de K pela polaridade induzida pela circunferência de centro N que passa por O, o que garante que dois pontos diametralmente opostos de uma delas são conjugados pela polaridade induzida pela outra. No caso, fica garantido que os pontos L₁ e L₂ são conjugados um do outro relativamente à circunferência de centro K de que a elipse será homológica.

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Nesta construção, A'B' e C'D' são, além de diâmetros conjugados, eixos de simetria da elipse.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980