Circunferências ortogonais: notas marginais para poder continuar

Considere-se a construção que se segue (parte esquerda) em que se têm duas circunferências, c₁ (verde) de centro O₁ e c₂ (cinza) de centro O₂. A polar ST (vermelha) de O₁ pela polaridade induzida por c₂ é a polar de O₂ pela polaridade induzida por c₁. Sempre que se verificam estas relações entre duas circunferências, dizemos que elas se cortam ortogonalmente ou são ortogonais.

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Na parte esquerda da construção, temos as duas circunferências e temos desenhadas as tangentes a c₂ tiradas por O₁ e as tangentes a c₁ tiradas por O₂. Lembremos noções, propriedades e resultados estudados na geometria elementar euclidiana:

1. Da circunferência c₁, O₁T=O₁S=r₁, O₁ST é isósceles. Do mesmo modo, O₂ST é isósceles. O₁O₂ e ST, diagonais do papagaio (deltóide), são mediatrizes uma da outra. O₁O₂ e ST são perpendiculares (ortogonais, normais)
2. Cada tangente à circunferência é perpendicular ao raio (reta que passa pelo centro da circunferência e pelo seu ponto de tangência). E, em consequência: O₁TO₂ = O₂TO₁ é um reto. Fica assim esclarecido a designação de ortogonais para as circunferências: O₁T O₂T é normal a O₁T.
3. Na construção acima, ainda fica ilustrado o facto de o diâmetro de uma de duas circunferências ortogonais ser cortado pelas duas circunferências em pares de pontos separados harmonicamente: o diâmetro CD de c₂ corta c₁ em {Å, B}: (A,B;C, D)=-1 (confirmado pelo quadrilátero, cor violeta na construção). Reciprocamente, se uma circunferência passa pelos pontos A, B conjugados harmónicos de outros C, D, então ela é ortogonal à circunferência de diâmetro CD.
   

Na parte direita da construção temos uma circunferência de centro O e P e Q conjugados relativamente a ela. Tendo em atenção as anteriores propriedades, poderá verificar que:

1. Se P e Q são conjugados relativamente a uma circunferência de centro O, a circunferência de diâmetro PQ (centro O') é ortogonal à circunferência de centro O.
   Se Q é conjugado de P pela polaridade induzida pela circunferência de centro O, então Q está sobre a polar p de P. Como PO é uma reta que contém um diâmetro da circunferência de centro O é perpendicular à polar p de P. Se chamarmos A à interseção de p com PO, a circunferência de diâmetro PQ passa por A. Chamando B e C às interseções de PO com a circunferência de centro em O, sabemos que P e A separam harmonicamente os pontos B e C, por A estar sobre a polar de P e a circunferência de centro O' (diâmetro PQ) é ortogonal à circunferência de centro O.
2. E, reciprocamente, Se duas circunferências (de centros O e O') são ortogonais, pontos P e Q diametralmente opostos de uma delas são conjugados relativamente à polaridade induzida pela outra.
   Tracemos um diâmetro PQ da circunferência de centro O' e unamos P com O, centro da outra. Por serem ortogonais, o quaterno (PABC) é harmónico e, em consequência, A pertence à polar p de P relativamente à circunferência de centro O e como PAQ é retângulo em A (já que PQ é um diâmetro), QA é perpendicular a PO e passa por A, logo p=AQ é a polar de P e, por isso, Q é conjugado de P relativamente à polaridade induzida pela circunferência de centro O.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980

Circunferência e elipse homológica: outra construção

Tomemos uma circunferência de centro K e consideramos uma homologia de que damos o centro O, o eixo e, a reta limite l, elementos bastantes para a definir. Tomamos um ponto da reta limite, L₁, de tal modo que a reta L₁K interseta a circunferência em pontos A e B tais que AB é a polar de L_∞. A polar de L₁ é a reta CD ou as tangentes dà circunferência tiradas por L₁ têm C e D por pontos de tangência ou o ponto C é o polo de L₁C e o ponto D é o polo de L₁C (C é um ponto autoconjugado, pertence à sua polar L₁C). O outro ponto sobre l que nos interessa é o ponto CD.l que designamos por L_∞ (CD//l) e que tem por polar a reta CD. O ponto P obtido como interseção de AB com CD é assim o polo de l=L₁L_∞. Podemos dizer que o triângulo auto-polar é L₁L_∞P:
L₁L_∞ de polo P, PL₁ de polo L_∞ e PL_∞ de polo L₁
A construção serve ainda para ver que como as diagonais do trapézio circunscrito à circunferência se intersetam em P, as suas homólogas intersetam-se em P' (no caso, centro da elipse), etc

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O trapézio tem dois lados paralelos a l (e ao eixo e) e o paralelogramo homólogo também...

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004