Homologia definida por centro, eixo, reta limite. Homológica de uma cónica tangente a 5 retas.

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Ainda usando a construção da penúltima entrada em que se construía o homológico de um pentágono por uma homologia de que se conheciam os centro, eixo e reta limite.
Nesta entrada e na construção associada, tomamos as retas r, s, t, u, v que contêm os lados do pentágono agora como tangentes à cónica, de que ficam assinalados os respetivos pontos de tangência R, S, T, U, V.
Como sabemos esse conjunto de retas constitui um feixe de segunda ordem e a cónica associada é a envolvente das retas do feixe. Considerando os pontos de interseção das retas s, t, v com a reta tangente r (r.s, r.t, r.v) e com a reta tangente u (u.s, u.t, u.v), temos duas pontuais retilíneas (bases r e u, no caso) projetivas não perspetivas. As retas que passam pelos pontos correspondentes por esta projetividade determinam o feixe de segunda ordem (r, s, t, u, v) que define a cónica.

Pode experimentar deslocar a reta limite e ver o que acontece quando esta interseta e não interseta a cónica
A homologia do plano no plano transforma o feixe de 2º ordem r, s, t, u, v no feixe de 2ª ordem r', s', t', u', v', isto é, transforma a cónica definida por 5 retas tangentes a ela, na cónica definida pelas retas homólogas.
A natureza da cónica homológica de uma outra só depende das posições relativas desta e da reta limite associada à homologia.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Homologia definida por centro, eixo e reta limite. Homológica de uma pontual cónica

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A construção desta entrada segue a construção do homológico de um pentágono da entrada anterior. Trata-se agora de olhar para os pontos A, B, C, D, E, H, K como uma pontual de 2º ordem (elipse), interseções dos retas correspondentes dos feixes A(BCDEHK) e B(ACDEHK) projetivos e não perspetivos. A homológica desta pontual cónica A, B, C, D, E, H, K será a pontual cónica A', B', C', D', E', H'_∞, K'_∞ em que cada ponto pode ser obtido como interseção de retas correspondentes dos feixes A'(B'C'D'E'H'_∞ K'_∞) e B'(A'C'D'E'H'_∞ K'_∞) projetivos e não perspetivos. Lembramos que à reta AH do primeiro feixe de 2º ordem corresponde a reta A'H'_∞ que é a reta paralela a OH tirada pelo ponto e.AH...

A homologia (que é uma homografia) do plano no plano a uma pontual de qualquer ordem faz corresponder uma pontual da mesma ordem: a uma pontual retilínea faz corresponder outra pontual retilínea, a uma pontual cónica faz corresponder uma pontual cónica. Nesta construção, fica claro que a uma cónica corresponde outra cónica, ainda que de natureza diferente (ou aparentemente diferente) conforme as posições relativas da cónica com a reta limite. No caso da nossa construção, como a elipse (sem pontos impróprios) é cortada pela reta limite em dois pontos, a sua homológica é uma hipérbole (tem dois pontos impróprios).

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004