Homologia definida por centro, eixo e reta limite: homológico de um pentágono cortado pela reta limite

Seja uma homologia (homografia do plano no plano) definida por centro, eixo e reta limite e seja um pentágono ABCDE de tal modo que a reta limite l corta dois dos seus lados, no caso, AE.l={I} e CD.l={J}
Pretende-se determinar o pentágono A'B'C'D'E' homológico de ABCDE.
Sabemos que dois pontos homólogos são colineares com o centro O e que as retas que contém dois lados homólogos se encontram num ponto do eixo e. Mas sabemos também que o homólogo de um ponto limite (de l) e de um lado (AE, por exemplo) é o ponto no infinito da reta (A'E') homóloga da reta que o contém, que é o mesmo que dizer que a reta A'E' é paralela a AE tirada por M=AE.e; do mesmo modo, C'D' é a paralela a OJ tirada por N=CD.e
Determinadas, desse modo, as retas A'E' e C'D', obtemos A' e E' como interseções da paralela a OI tirada por M com OA e com OE, C' e D' nas interseções da paralela a OJ tirada por N com OC e com OD. Para determinar B', toma-se {Q}=e.AB e {B'}=QA.OB; {C'}=RB'.OC em que {R}= e.BC; {D'}=NC'.OD em que {N}=e.CD
E à semelhança do que fizemos na entrada anterior, os lados da figura homológica de ABCDE são:
A'I'_∞E', homólogo de AIE
C'J'_∞D', homólogo de CJD
A'B' homólogo de AB, B'C' homólogo de BC e D'E' homólogo de DE.

Esta construção da figura homológica de um pentágono é importante para percebermos bem o que se passa com as cónicas (bem determinadas por 5 dos seus pontos, qualquer delas) quando têm ou não têm pontos impróprios. Se, para uma dada homologia, um pentágono tem pontos limite em alguns dos seus lados, o seu homológico tem pontos impróprios nos lados homólogos desses.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Homologia por centro, eixo e reta limite: homológico de um triângulo cortado pela reta limite

Na construção que se apresenta a seguir, temos uma homologia de que conhecemos centro, eixo e reta limite. E, para essa homologia, determinámos o homológico de um triângulo ABC em posição tal que tem a reta limite corta dois dos seus lados AB e BC (como se vê quando se abre a construção).
Pelo procedimento habitual: as retas homólogas AB e A'B' encontram-se num ponto do eixo e, M. Para além de M, para termos a reta A'B', basta considerar a imagem de um dos seus pontos, I, que, por ser ponto limite de AB, tem por imagem o ponto do infinito de A'B', I'_∞=OI.A'B'. Assim A'B' é a reta MI'_∞, paralela a OI tirada por M. Claro que A' é OA.MI'_∞ e B' é OB.MI'_∞
Do mesmo modo, B'C' é a paralela a OJ tiradda por BC.e, K, B'C' é a reta KJ'_∞. E C' é OC.KJ'_∞
Como I é ponto da reta limite l e do lado AB, (o segmento) A'B' terá de conter o ponto do infinito, designamo-lo por I'_∞ isto é, o homólogo do lado AB é A'I'_∞B'. E, do mesmo modo, o homólogo do lado BC será B'J'_∞C'.
Esperamos que a construção apresentada seja uma boa ilustração.

Com alguns cuidados, poderá fazer variar o triângulo e mesmo a homologia (deslocando O, e e J). A figura dinâmica dará boa informação para algumas posições relativas. Foi feita para mostrar o que acontece para o caso de a reta limite cortar os lados AB e BC do triângulo.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004