Homologia por centro, eixo e reta limite: homológico de um triângulo cortado pela reta limite

Na construção que se apresenta a seguir, temos uma homologia de que conhecemos centro, eixo e reta limite. E, para essa homologia, determinámos o homológico de um triângulo ABC em posição tal que tem a reta limite corta dois dos seus lados AB e BC (como se vê quando se abre a construção).
Pelo procedimento habitual: as retas homólogas AB e A'B' encontram-se num ponto do eixo e, M. Para além de M, para termos a reta A'B', basta considerar a imagem de um dos seus pontos, I, que, por ser ponto limite de AB, tem por imagem o ponto do infinito de A'B', I'_∞=OI.A'B'. Assim A'B' é a reta MI'_∞, paralela a OI tirada por M. Claro que A' é OA.MI'_∞ e B' é OB.MI'_∞
Do mesmo modo, B'C' é a paralela a OJ tiradda por BC.e, K, B'C' é a reta KJ'_∞. E C' é OC.KJ'_∞
Como I é ponto da reta limite l e do lado AB, (o segmento) A'B' terá de conter o ponto do infinito, designamo-lo por I'_∞ isto é, o homólogo do lado AB é A'I'_∞B'. E, do mesmo modo, o homólogo do lado BC será B'J'_∞C'.
Esperamos que a construção apresentada seja uma boa ilustração.

Com alguns cuidados, poderá fazer variar o triângulo e mesmo a homologia (deslocando O, e e J). A figura dinâmica dará boa informação para algumas posições relativas. Foi feita para mostrar o que acontece para o caso de a reta limite cortar os lados AB e BC do triângulo.

---

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Homologia definida por centro, eixo e reta limite: quadriláteros homológicos (caso 1)

Retomamos homologias definidas pelo centro O, eixo e e reta limite l. Vamos determinar o quadrilátero homológico de um quadrilátero ABCD dado, por uma homologia definida por O, e, l.
Dados O, e, l e os quatro pontos A, B, C, D vamos determinar A', B' C', D' : O, A e A' são colineares; O, B e B' são colineares, etc e AB.A'B' é um ponto de e.... Consideremos os pontos I e K de interseção da reta definida por A e D com a reta limite e com o eixo: AD.l = {I} e AD.e= {K}. Como I é um ponto da reta limite é o ponto limite da reta AD: OI interseta A'D' no seu ponto impróprio e como K é o ponto da reta AD no eixo, A'D' terá de passar por K. Ou seja, a reta A'D' é a paralela a OI tirada por K.
Do mesmo modo, BC.e = {M} e BC.l = {J}, B'C' será a paralela a OJ tirada por M.
Assim ficam determinados: A' e D' como interseções de OA e OD com a paralela a OI tirada por K; B' C' como interseções de OB e OC com a paralela a OJ tirada por M. Confirmámos DC.D'C' ={N} em e, DB.D'B'= {P} de e, AB.A'B'= {L} também no eixo da homologia.

No caso da homologia que se vê ao abrir, a reta limite l não interseta os lados do quadrilátero ABCD e, por isso, o seu homológico não tem pontos impróprios A'B'C'D'.
Na próxima entrada, veremos o caso de polígono em que a reta limite interseta lados do polígono para ver o que acontece com o homológico.

---

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004