Homologia definida por centro, eixo e reta limite

Uma homologia do plano transforma pontos em pontos, pontuais em pontuais, feixes em feixes do plano. Para cada homologia, uma pontual de pontos da reta imprópria do plano tem como imagem uma pontual - reta limite l'- que contém o ponto impróprio do eixo e uma pontual de pontos da reta imprópria é imagem de uma pontual - reta limite l - que também contém o ponto impróprio do eixo.
Também já vimos antes que uma homologia do plano fica determinada por:

1. o centro, o eixo e um par de pontos (retas) homólogos , não incidentes no centro nem no eixo.
2. dois pares de pontos (retas) homólogos e um ponto (reta) duplo (homólogo/a de si mesmo).
3. três pares de pontos (retas) homólogos.

Claro que dar uma reta limite equivale a dar um par de retas homólogas: a própria reta limite e a reta imprópria do plano
Nas últimas construções, definimos as homologias dando centro, eixo e um par de pontos homólogos.
Nesta entrada, vamos verificar que uma homologia fica determinada pelo centro O, o eixo e e a reta limite l.

Pode mover O, e, l para ver o que acontece com várias homologias
e também r, para além de A sobre r.

Dado um ponto A, como determinamos A'? Ou dada uma reta r como determinamos r' na homologia de que conhecemos o centro O, o eixo e e a reta limite l?
Por qualquer ponto A, podemos tirar uma reta r que intersete o eixo e (em M) e a reta limite l (em I). I é um ponto limite, original do ponto impróprio de r', R'_∞, por ser, ao mesmo tempo de l e de r. Isso quer dizer que a reta OI do feixe centrado em O interseta r' no seu ponto impróprio (OI//r'). Sabemos além disso que duas retas homólogas se intersetam num ponto do eixo, no caso M: Fica determinada r', paralela a OI tirada por M=r.e

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E, concluindo, obtém-se A'=OA.r'
Na nossa construção também procurámos a reta limite imagem da reta imprópria do plano: Tirámos por O uma paralela a r (que interseta r no seu ponto impróprio R_∞. O ponto onde essa reta interseta r' está a imagem J' do ponto do infinito de r.
A reta limite, imagem da reta imprópria do plano, passa por J' e também pelo ponto impróprio do eixo.
Verificará que O, e, ocupam certas posições relativas com l, l': ou estão ambos entre l e l' ou ambas fora da faixa de fronteiras l e l'

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Homologia plana (memória)

De uma homologia damos o centro O e o eixo e, uma reta r e a sua homóloga r'. No caso da nossa construção tomámos duas retas concorrentes em A e, de acordo com o processo de definição da homologia de centro O, se considerarmos A da pontual de base r, o seu homólogo A'=OA.r' na reta r' só pode ser A'=A (já que a reta tirada por O que passa por A também passa por A' e OA.r=OA'.r'=r.r), o que quer dizer que é um ponto duplo da homologia que sendo diferente de O é um ponto do eixo da homologia. De outro modo: Um ponto B de r tem como correspondente o ponto B'=OB.r' de r' e um ponto C' de r' tem como homólogo o ponto C=OC'.r de r e as duas retas BC.B'C'=r.r'=A, AB.A'B'=A. Se não dermos o eixo, teremos de dar mais um ponto (não incidente em r) e o seu correspondente, para definirmos o eixo da homologia.
Vamos determinar pontos limite e retas limite da homologia. Para exemplo, determinamos a imagem R' do ponto no infinito de r, R_∞: Tiremos por O a reta OR_∞ (paralela a r tirada por O). A imagem de R_∞ é o ponto R'=OR_∞.r', ponto limite.
Quando falamos de reta imprópria do plano estamos a falar da reta que contém todos os pontos no infinito do plano, também o ponto E_∞ impróprio do eixo e. Por isso a imagem pela homologia da reta imprópria do plano é R'E_∞ (paralela a e tirada por R'). Temos assim a reta limite imagem da reta no infinito do plano.
A reta limite que tem como imagem a reta no infinito do plano determina-se de forma análoga: O original do ponto no infinito de r', R'_∞, é O R'_∞.r=R e a reta limite que tem como imagem a reta imprópria do plano é RE_∞. As retas limite (original e imagem) intersetam-se no ponto impróprio de e (também ele ponto da reta imprópria do plano).

Pode movimentar pontos e retas (mudando de homologia, claro)

Experimente deslocar O e veja o que acontece quando ele incidir sobre r ou sobre r' ou sobre o eixo e. E se O coincidir com A?

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004