Pontuais projetivas sobre uma circunferência: Pontos duplos.

Na construção que se segue, temos uma projetividade entre pontuais definida por 3 pares de pontos correspondentes A→A', B→B' e C→C' todos sobre uma mesma base circular. Isso está feito tomando dois feixes perspetivos V.ABC e V'.A'B'C', de tal modo que os pontos VA.V'A'=A'', VB.V'B'=B'' e VC.V'C'=C'' estão sobre uma mesma reta r''. Para determinar a imagem de um ponto qualquer D por essa projetividade, toma-se D''=VD.r'' e vem D' como interseção de V'D''com a circunferência. Convém reparar que variar r'' é variar a projetividade e, mantendo ABCD, forçosamente varia A'B'C'D', na projetividade de eixo r''.
Como o eixo r'' inicialmente mostrado não interseta a circunferência, deslocando o ponto D ao longo dela, verá que D é sempre diferente de D'. A projetividade com este eixo não admite pontos duplos.
Se deslocar o eixo r'' de modo a ser tangente à circunferência, deslocando D sobre a circunferência verá que no ponto de tangência D=D'. Há um ponto duplo para a projetividade de eixo tangente à circunferência. Se deslocar o eixo r'' de modo que seja secante, deslocando D poderá ver que D=D' nos dois pontos de interseção do eixo r'' com a circunferência. A projetividade de eixo secante tem dois pontos duplos.

Dois feixes perspetivos de centros sobre a circunferência (as retas correspondentes pela perspetividade encontram-se em pontos de uma mesma reta - eixo r'') determinam sobre a circunferência duas pontuais b'=V'B', c'=V'C', d'=V'D'.... é óbvio que se podem deduzir a igualdade entre as razões duplas: (abcd)=(A''B''C''D'')=(a'b'c'd') A perspetividade entre dois feixes mantém a razão dupla. E Izquierdo chama razão dupla (ABCD) de quatro pontos da circunferência à razão dupla dos dos eixos VA, VB, VC, VD sendo V um ponto da circunferência. Assim, sendo perspetivos os feixes que determinam sobre a circunferência {A, B, C, D} e {A', B', C', D'}, então (ABCD)=(A'B'C'D').

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• F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
• Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
• H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
• C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Pontuais projetivas sobre uma mesma reta. Pontos limite.

Na construção que se segue, temos uma projetividade entre pontuais definida por 3 pares de pontos correspondentes A→A', B→B' e C→C' todos sobre uma mesma base.
No caso presente, tomamos um ponto V que não pertence a r e sobre uma reta r₀ paralela a r, tomamos os pontos A₀=A'V.r₀, B₀=B'V.r₀ e C₀=C'V.r₀ (perspetividade entre as pontuais A'B'C' e A₀B₀C₀ ).
A projetividade é composta da perspetividade A'B'C'→^V→ A₀B₀C₀) com a projetividade ABC → A₀B₀C₀ de eixo definido pelas interseções A₀B com AB₀ e A₀C com AC₀. A imagem de um ponto D é obtida do seguinte modo: A₀D interseta o eixo num ponto que com A define uma reta que interseta r₀ em D₀. Finalmente: D'=r.VD₀. Deslocando D sobre r, pode verificar que, pela projetividade, o ponto J é o original do ponto do infinito de r e o ponto K' é a imagem do ponto no infinito de r pela mesma projetividade. Estes pontos tomam o nome de pontos limite para a projetividade ABC→→A'B'C' sobre r.

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• F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
• Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
• H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
• C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004