Projetividade entre pontuais. Ponto duplo e pontos limite de uma homografia

Tomemos duas pontuais {A_i ∈ a: i=1, 2, 3,...} e {B_i ∈ b: i=1, 2, 3,...} com a≠b. Uma projetividade entre as duas pontuais fica bem definida por três pares de pontos correspondentes, no caso, (A₁, B₁), (A₂, B₂) e (A₃, B₃). A partir destes dados, tomando dois feixes centrados em
A₁: A₁B₁, A₁B₂, A₁B₃, e
em B₁: B₁A₁, B₁A₂, B₁A₃,
fica determinado o eixo da projetividade a passar pelos pontos (12)=A₁B₂.B₁A₂ e (13)= (12)=A₁B₃.B₁A₃. Uma projetividade é composta de duas perspetividades, precisamente A_i → (1i)= A_iB₁.[(12)(13)]→ B_i=b.[(1i)A₁.
Assim se obtém o transformado de A_∞, K de b: tira-se por B₁ uma reta (paralela) que intersete a no seu ponto do infinito e interseta o eixo de projetividade no ponto ∞1. A reta A₁∞1 interseta b em K. K é um ponto limite da homografia (neste caso, projetividade), imagem de A_∞.
Analogamente, vimos que J=(1∞)B₁.a, em que A₁(1∞) é paralela a b, é um ponto limite da projetividade por ser o original de B_∞.
O ponto a.b é o único ponto duplo dessa homografia.

da antiga dinâmica:
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Feixes perspetivos. Retas duplas de uma homografia.

Tomemos uma perspetividade entre dois feixes {a_i: i=1, 2, 3,..} e {b_i: i=1, 2, 3,..}, (sendo A∈ a_i e B∈ b_i, ∀ i; A≠B ), projetivos. Sabemos que fica determinada se os pontos a_i.b_i (i=1,2,3) forem colineares.
No caso da nossa construção ∃ r tal que a₁.b₁, a₂.b₂, a₃.b₃ ∈ r.
A imagem de qualquer reta do feixe centrado em A, a_i, é uma reta b_i do feixe centrado em B, obtida como a reta a passar por B e por a_i.r
Dizemos que AB é uma reta dupla já que é simultaneamente original e imagem para a homografia (no caso, perspetividade entre feixes).
A reta a' do feixe centrado em A interseta r no seu ponto do infinito e a sua imagem para a homografia considerada só pode ser b' que interseta r no seu ponto do infinito.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004