Feixes perspetivos. Retas duplas de uma homografia.

Tomemos uma perspetividade entre dois feixes {a_i: i=1, 2, 3,..} e {b_i: i=1, 2, 3,..}, (sendo A∈ a_i e B∈ b_i, ∀ i; A≠B ), projetivos. Sabemos que fica determinada se os pontos a_i.b_i (i=1,2,3) forem colineares.
No caso da nossa construção ∃ r tal que a₁.b₁, a₂.b₂, a₃.b₃ ∈ r.
A imagem de qualquer reta do feixe centrado em A, a_i, é uma reta b_i do feixe centrado em B, obtida como a reta a passar por B e por a_i.r
Dizemos que AB é uma reta dupla já que é simultaneamente original e imagem para a homografia (no caso, perspetividade entre feixes).
A reta a' do feixe centrado em A interseta r no seu ponto do infinito e a sua imagem para a homografia considerada só pode ser b' que interseta r no seu ponto do infinito.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Pontuais perspetivas. Ponto duplo e ponto limite de uma homografia.

Nesta entrada rememoramos a definição e a determinação de elementos homólogos por uma homografia (perspetividade para começar). Para exemplo, tomamos uma perspetividade entre duas pontuais {A_i ∈ a : i=1, 2, 3,..} e {B_i ∈ b : i=1, 2, 3,..}, sendo a≠b ou de bases diferentes, projetivas. Sabemos que fica determinada se as retas A_iB_i (i=1,2,3) forem concorrentes.
No caso da nossa construção A₁B₁.A₂B₂.A₃B₃={V}.
A imagem de qualquer ponto de a, A_i, é um ponto B_i de b obtido como interseção de V.A_i com b.
Chamamos ainda a atenção para no caso de a e b serem concorrentes, haver um ponto de a que é imagem de si próprio. Chamamos A=B=a.b e a reta VA (do feixe por V) interseta b em B=A. Diz-se que é um ponto duplo já que é simultaneamente original e imagem para essa perspetividade. É o único ponto duplo para essa perspetividade.
Aproveitamos a nossa construção para determinar a imagem do ponto do infinito de a que é a interseção da reta VA_∞ com a reta b, VA_∞.b=A'_∞. Por essa perspetividade, o ponto B'_∞=VB_∞.a é o original do ponto do infinito de b, B_∞.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar os pontos visíveis.
Aos pontos correspondentes por homografia aos pontos do infinito de cada pontual chamamos pontos limite dessa homografia. Aos pontos que são imagens de si mesmos por uma homografia chamamos pontos duplos dessa homografia.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004