Feixes perspetivos têm a mesma razão dupla.

Na anterior entrada vimos que a razão dupla (abcd) de quatro retas de um feixe é igual à razão dupla (ABCD) de uma pontual obtida como secção por uma reta r do feixe (A = a.r, B = b.r, C = c.r, D = d.r)
A figura ilustra que são iguais as razões duplas de dois feixes perspetivos (abcd) =(a'b'c'd') que são tais que as retas correspondentes se intersetam em pontos de uma mesma reta.
Seja a.b.c.d={V}, a'.b'.c'.d'={V'} e r que não passe por V nem por V'. Se A=r.a=r.a', B=r.b=r.b', C=r.c=r.c' e D=r.d=r.d', então (abcd)=(a'b'c'd')=(ABCD).

Na figura, pode fazer variar a,b,c,d, r, A,B,C,D. Podia!

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• F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
• Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
• H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
• C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Razão dupla de quatro retas de um feixe.

Tal como fizemos com a definição de razão dupla de quatro pontos colineares, definiremos razão dupla de 4 retas concorrentes num ponto. Lembramos que    (ABCD)= (ACD)/(BCD).
Como na entrada anterior definimos    (abc)= sen(ab)/sen(ac),       para razão dupla das quatro retas  a, b, c, d  concorrentes em    V     tomaremos    (abcd)=(acd)/(bcd)    =     (sen(ac)/sen(ad))  /   (sen(bc)/sen(bd)).
Na construção abaixo, consideramos um ponto    V     para centro do feixe de retas    a, b, c, d,     um sentido representado no arco vermelho, duas retas    r     e    r'     e respetivas pontuais obtidas por secção do feixe    (A=a.r, ..., A'=a.r', ...).



Pode fazer variar   a,  b, c, d,  r  e  r'  na figura.

Ficam ilustrados vários resultados:

1. quando a=b,  (abcd)=1; quando a=c,  (abcd)=0 ; quando a=d,  (abcd)=±∞
2. (abcd)=(ABCD),  já que, como vimos antes,  (acd).(VC/VD)=(ACD)  e  (bcd).(VC/VD)=(BCD)  e, dividindo ordenadamente,  (acd)/(bcd)=(ACD)/(BCD)
3. (ABCD) = (A'B'C'D') = (abcd)
4. ....

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• F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
• Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
• H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
• C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004